משפט תאלס המורחב והמשפט ההפוך

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 14 מתוך 26לימוד

משפט תאלס המורחב והמשפט ההפוך

משפט תאלס המורחב

משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות, או את המשכיהן, בקטעים פרופורציוניים.

המקרה החדש הוא ההמשכים שמעבר לקודקוד: הישרים $\displaystyle BD$ ו- $\displaystyle CE$ נחתכים ב- $\displaystyle A$ , ו- $\displaystyle DE\parallel BC$ .

נתון: $\displaystyle A$ על הקטעים $\displaystyle BD$ ו- $\displaystyle CE$ ; $\displaystyle DE\parallel BC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {\frac{AD}{AB}}={\frac{AE}{AC}}$ .

בהוכחה שלפניכם נעתיק את המשולש $\displaystyle ADE$ לצד השני של $\displaystyle A$ : $\displaystyle F$ על $\displaystyle AB$ כך ש- $\displaystyle {AF}={AD}$ , ו- $\displaystyle G$ על $\displaystyle AC$ כך ש- $\displaystyle {AG}={AE}$ . אז $\displaystyle FG\parallel BC$ , ומשפט תאלס מתקיים במשולש $\displaystyle ABC$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AF}={AD}$	בנייה
2	$\displaystyle {AG}={AE}$	בנייה
3	$\displaystyle {\angle FAG}={\angle DAE}$	זוויות קודקודיות
4	$\displaystyle \triangle AFG\cong\triangle ADE$	(1), (2), (3); משפט החפיפה צ.ז.צ
5	$\displaystyle {\angle AFG}={\angle ADE}$	(4); זוויות מתאימות במשולשים חופפים
6	$\displaystyle {\angle ADE}={\angle ABC}$	זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים $\displaystyle DE$ ו- $\displaystyle BC$
7	$\displaystyle {\angle AFG}={\angle ABC}$	(5), (6)
8	$\displaystyle FG\parallel BC$	(7); זוויות מתאימות שוות – הישרים מקבילים
9	$\displaystyle {\frac{AF}{AB}}={\frac{AG}{AC}}$	(8); משפט תאלס במשולש $\displaystyle ABC$
10	$\displaystyle {\frac{AD}{AB}}={\frac{AE}{AC}}$	(1), (2), (9)

תרגיל 1

הקטעים $\displaystyle AD$ ו- $\displaystyle BC$ נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .
$\displaystyle AB\parallel CD$ .
$\displaystyle {OA}={4}$ , $\displaystyle {OD}={6}$ ו- $\displaystyle {OB}={5}$ .
מצאו את $\displaystyle OC$ .

היחס בין הקטע המקביל לצלע

משפט: קטע המקביל לצלע של משולש, שקצותיו על שתי הצלעות האחרות, מתייחס לצלע הזאת כמו שהקטעים שהוא מקצה מתייחסים לצלעות שלהם:

\displaystyle \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}

נתון: $\displaystyle D$ על $\displaystyle AB$ , $\displaystyle E$ על $\displaystyle AC$ , ו- $\displaystyle DE\parallel BC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {\frac{DE}{BC}}={\frac{AD}{AB}}$ .

בהוכחה שלפניכם נעביר דרך $\displaystyle E$ ישר המקביל ל- $\displaystyle AB$ , עד הנקודה $\displaystyle F$ על $\displaystyle BC$ . אז $\displaystyle {DE}={BF}$ , ומשפט תאלס בקודקוד $\displaystyle C$ נותן את היחס בין $\displaystyle BF$ ל- $\displaystyle BC$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle DE\parallel BF$	נתון ( $\displaystyle DE\parallel BC$ )
2	$\displaystyle EF\parallel DB$	בנייה
3	$\displaystyle DBFE$ מקבילית	(1), (2); מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות
4	$\displaystyle {DE}={BF}$	(3); צלעות נגדיות במקבילית
5	$\displaystyle {\frac{CF}{CB}}={\frac{CE}{CA}}$	(2); משפט תאלס בקודקוד $\displaystyle C$
6	$\displaystyle {\frac{BF}{BC}}={\frac{AE}{AC}}$	(5); חיסור שני האגפים מ- $\displaystyle 1$
7	$\displaystyle {\frac{AE}{AC}}={\frac{AD}{AB}}$	נתון $\displaystyle DE\parallel BC$ ; משפט תאלס בקודקוד $\displaystyle A$
8	$\displaystyle {\frac{DE}{BC}}={\frac{AD}{AB}}$	(4), (6), (7)

אותו דבר נכון כש- $\displaystyle D$ ו- $\displaystyle E$ על המשכי הצלעות – מעבר ל- $\displaystyle B$ ול- $\displaystyle C$ , או מעבר ל- $\displaystyle A$ .

תרגיל 2

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle DE\parallel BC$ .
$\displaystyle {AD}={4}$ , $\displaystyle {DB}={2}$ ו- $\displaystyle {BC}={9}$ .
מצאו את $\displaystyle DE$ .

המשפט ההפוך למשפט תאלס

המשפט ההפוך למשפט תאלס: ישר שחותך שתי צלעות של משולש בקטעים פרופורציוניים מקביל לצלע השלישית.

במשולש $\displaystyle ABC$ : אם $\displaystyle D$ על $\displaystyle AB$ , $\displaystyle E$ על $\displaystyle AC$ ו- $\displaystyle {\frac{AD}{DB}}={\frac{AE}{EC}}$ , אז $\displaystyle DE\parallel BC$ .

בהוכחה שלפניכם נראה שהמקביל ל- $\displaystyle BC$ דרך $\displaystyle D$ מגיע ל- $\displaystyle AC$ בדיוק בנקודה $\displaystyle E$ :

נעביר דרך $\displaystyle D$ ישר המקביל ל- $\displaystyle BC$ ; הוא פוגש את $\displaystyle AC$ בנקודה $\displaystyle E'$ ;
לפי משפט תאלס $\displaystyle {\frac{AD}{DB}}={\frac{AE'}{E'C}}$ , ולכן $\displaystyle {\frac{AE'}{E'C}}={\frac{AE}{EC}}$ ;
נוסיף $\displaystyle 1$ לשני האגפים: $\displaystyle {\frac{AC}{E'C}}={\frac{AC}{EC}}$ , ולכן $\displaystyle {E'C}={EC}$ ;
$\displaystyle E'$ ו- $\displaystyle E$ שתיהן על הקטע $\displaystyle AC$ , באותו מרחק מ- $\displaystyle C$ – הן נקודה אחת, ו- $\displaystyle DE$ הוא המקביל ל- $\displaystyle BC$ .

המשפט ההפוך נכון גם ליחס בין חלק לצלע כולה: אם $\displaystyle {\frac{AD}{AB}}={\frac{AE}{AC}}$ , אז $\displaystyle DE\parallel BC$ .

תרגיל 3

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle {\frac{AD}{DB}}={\frac{AE}{EC}}$ .
הוכיחו: $\displaystyle DE\parallel BC$ .

תרגיל 4

$\displaystyle ABCD$ טרפז, $\displaystyle AB\parallel DC$ .
האלכסונים שלו נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .
הוכיחו: $\displaystyle {\frac{AO}{OC}}={\frac{BO}{OD}}$ .

תרגיל 5

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$ .
האם $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$ ? הסבירו.

$\displaystyle {AD}={6}$ , $\displaystyle {DB}={4}$ , $\displaystyle {AE}={9}$ , $\displaystyle {EC}={6}$ .
$\displaystyle {AD}={5}$ , $\displaystyle {AB}={8}$ , $\displaystyle {AE}={6}$ , $\displaystyle {AC}={10}$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$