פרופורציה ומשפט תאלס

ארבעה קטעים $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ הם פרופורציוניים כשהיחס בין שני הראשונים שווה ליחס בין שני האחרונים:

מפרופורציה אחת מקבלים פרופורציות אחרות – כל אחת בצעד אלגברי:

• כפל בהצלבה: $\displaystyle {ad}={bc}$;
• החלפת האיברים האמצעיים: $\displaystyle {\frac{a}{c}}={\frac{b}{d}}$;
• הוספת $\displaystyle 1$ לשני האגפים: $\displaystyle {\frac{a+b}{b}}={\frac{c+d}{d}}$;
• חיסור $\displaystyle 1$ משני האגפים: $\displaystyle {\frac{a-b}{b}}={\frac{c-d}{d}}$;
• היפוך שני האגפים אחרי ההוספה: $\displaystyle {\frac{a}{a+b}}={\frac{c}{c+d}}$.

דוגמה: הנקודה $\displaystyle D$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ כך ש-$\displaystyle {\frac{AD}{DB}}={\frac{2}{3}}$. נוסיף $\displaystyle 1$ לשני האגפים: $\displaystyle {\frac{AD+DB}{DB}}={\frac{5}{3}}$, כלומר $\displaystyle {\frac{AB}{DB}}={\frac{5}{3}}$. לכן $\displaystyle DB$ הוא $\displaystyle \frac{3}{5}$ מ-$\displaystyle AB$, ו-$\displaystyle AD$ הוא $\displaystyle \frac{2}{5}$ ממנו.

הנקודה $\displaystyle D$ על הקטע $\displaystyle AB$, ו-$\displaystyle {AB}={20}$.
$\displaystyle {\frac{AD}{DB}}={\frac{2}{3}}$.
מצאו את $\displaystyle AD$.
(רמז: $\displaystyle {AD}={x}$, ואז $\displaystyle {DB}={20-x}$.)

משפט: ישרים מקבילים שמקצים קטעים שווים על שוק אחת של זווית מקצים קטעים שווים גם על השוק השנייה.

נתון: $\displaystyle D$, $\displaystyle F$, $\displaystyle H$ על שוק אחת של הזווית $\displaystyle A$, ו-$\displaystyle {AD}={DF}={FH}$; $\displaystyle DE\parallel FG\parallel HI$, והנקודות $\displaystyle E$, $\displaystyle G$, $\displaystyle I$ על השוק השנייה.
צריך להוכיח: $\displaystyle {AE}={EG}={GI}$.

בהוכחה שלפניכם נשתמש בשני משפטים משיעור קטע האמצעים: במשולש $\displaystyle AFG$ הישר $\displaystyle DE$ עובר דרך אמצע $\displaystyle AF$ ומקביל ל-$\displaystyle FG$; בטרפז $\displaystyle DEIH$ הישר $\displaystyle FG$ עובר דרך אמצע השוק $\displaystyle DH$ ומקביל לבסיסים.

באותה דרך המשפט נכון לכל מספר של קטעים שווים – טרפז אחרי טרפז.

משפט תאלס: שני ישרים מקבילים שחותכים את שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים.

במשולש: אם $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle AB$, $\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$ ו-$\displaystyle DE\parallel BC$, אז

ההוכחה שלפניכם היא ליחס של מספרים שלמים, כאן $\displaystyle {\frac{AD}{DB}}={\frac{2}{3}}$; כל יחס אחר של מספרים שלמים מוכיחים באותה דרך.

• $\displaystyle AD$ הוא $\displaystyle 2$ חלקים שווים, ו-$\displaystyle DB$ הוא $\displaystyle 3$ חלקים באותו אורך: הנקודות $\displaystyle K$, $\displaystyle D$, $\displaystyle L$, $\displaystyle M$ מחלקות את $\displaystyle AB$ ל-$\displaystyle 5$ חלקים שווים;
• דרך כל אחת מהן נעביר ישר המקביל ל-$\displaystyle BC$, עד הצלע $\displaystyle AC$ – בנקודות $\displaystyle N$, $\displaystyle E$, $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$;
• הישרים המקבילים מקצים על $\displaystyle AB$ קטעים שווים, ולכן לפי המשפט הקודם הם מקצים קטעים שווים גם על $\displaystyle AC$;
• לכן $\displaystyle AE$ הוא $\displaystyle 2$ מהחלקים האלה, ו-$\displaystyle EC$ הוא $\displaystyle 3$ מהם: $\displaystyle {\frac{AE}{EC}}={\frac{2}{3}}={\frac{AD}{DB}}$.

המשפט נכון לכל יחס, ולא רק ליחס של מספרים שלמים; ההוכחה לכך היא מעבר לקורס.

התכונות של פרופורציה הופכות את $\displaystyle {\frac{AD}{DB}}={\frac{AE}{EC}}$ לעוד שתי פרופורציות – חלק לעומת הצלע כולה:

ו-$\displaystyle {\frac{DB}{AB}}={\frac{EC}{AC}}$.

דוגמה: $\displaystyle DE\parallel BC$, $\displaystyle {AD}={4}$, $\displaystyle {DB}={6}$ ו-$\displaystyle {AE}={5}$. לפי משפט תאלס $\displaystyle {\frac{4}{6}}={\frac{5}{EC}}$, ולכן $\displaystyle {4\cdot EC}={30}$ ו-$\displaystyle {EC}={7.5}$.

במשולש $\displaystyle ABC$, $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$.
$\displaystyle DE\parallel BC$.
$\displaystyle {AD}={6}$, $\displaystyle {AB}={15}$ ו-$\displaystyle {AC}={20}$.
מצאו את $\displaystyle AE$.

בסרגל ובמחוגה אפשר לחלק קטע $\displaystyle AB$ ל-$\displaystyle 5$ חלקים שווים:

• משרטטים קרן מ-$\displaystyle A$, בזווית כלשהי ל-$\displaystyle AB$;
• במחוגה מסמנים על הקרן $\displaystyle 5$ קטעים שווים, זה אחרי זה, מ-$\displaystyle A$ עד נקודה $\displaystyle T$;
• מחברים את $\displaystyle T$ עם $\displaystyle B$;
• דרך כל אחד מהסימונים האחרים מעבירים ישר המקביל ל-$\displaystyle TB$.

הישרים המקבילים מקצים קטעים שווים על הקרן, ולכן הם מקצים קטעים שווים גם על $\displaystyle AB$ – $\displaystyle 5$ חלקים שווים.

כדי לחלק את $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle 2:3$ מעבירים רק את המקביל דרך הסימון השני: הוא חותך את $\displaystyle AB$ בנקודה $\displaystyle D$ שבה $\displaystyle {\frac{AD}{DB}}={\frac{2}{3}}$, לפי משפט תאלס.

תארו איך מחלקים קטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle 3:4$ בסרגל ובמחוגה.
הסבירו למה הנקודה שמצאתם מחלקת את $\displaystyle AB$ ביחס הזה.

במשולש $\displaystyle ABC$, $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$.
$\displaystyle DE\parallel BC$.
הוכיחו: $\displaystyle {AD\cdot EC}={DB\cdot AE}$.