דלג לתוכן

פונקציית ההצטברות ותכונותיה

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 5 מתוך 20לימוד

פונקציית ההצטברות ותכונותיה

פונקציית ההצטברות

נתונה פונקציה רציפה f\displaystyle f, שמתארת קצב שינוי של גודל. פונקציית ההצטברות של f\displaystyle f מ-a\displaystyle a, Fa(x)\displaystyle F_a(x), היא הגודל שמצטבר מ-a\displaystyle a ועד x\displaystyle x: השטח שבין הגרף של f\displaystyle f לציר ה-x\displaystyle x מ-a\displaystyle a עד x\displaystyle x, כשהשטח מתחת לציר נספר במינוס. כש-x\displaystyle x זז ימינה, השטח גדל או קטן, ולכן הוא פונקציה של x\displaystyle x.

Fa(x)=∫axf(t) dt\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt
  • הסימן ∫\displaystyle \int הוא S מוארכת, מהמילה Sum – סכום: ההצטברות היא גבול של סכומי מלבנים.
  • f(t) dt\displaystyle f(t)\,dt מזכיר מלבן: גובה f(t)\displaystyle f(t) כפול רוחב קטן מאוד dt\displaystyle dt.
  • a\displaystyle a הוא הגבול התחתון ו-x\displaystyle x הגבול העליון.
  • המשתנה שבתוך האינטגרל נקרא t\displaystyle t, כדי לא להתבלבל עם x\displaystyle x – הקצה שעד אליו מצטבר.
  • הערך בנקודה מסוימת, Fa(b)=∫abf(t) dt\displaystyle {F_a(b)}={\int_a^b f(t)\,dt}, הוא מספר: האינטגרל המסוים של f\displaystyle f מ-a\displaystyle a עד b\displaystyle b.
התכונות של Fa\displaystyle F_a לפי f\displaystyle f

את התכונות של פונקציית ההצטברות קוראים מהגרף של f\displaystyle f, בלי נוסחה:

  • Fa(a)=0\displaystyle {F_a(a)}={0}: מ-a\displaystyle a עד a\displaystyle a עוד לא הצטבר דבר.
  • כש-f\displaystyle f חיובית, מצטבר גודל חיובי, ו-Fa\displaystyle F_a עולה.
  • כש-f\displaystyle f שלילית, Fa\displaystyle F_a יורדת.
  • בנקודה שבה f\displaystyle f מחליפה סימן מ-+ ל-−, ל-Fa\displaystyle F_a יש מקסימום; מ-− ל-+ – מינימום.
  • כש-f\displaystyle f עולה, כל קטע מוסיף יותר מהקטע שלפניו, ו-Fa\displaystyle F_a קעורה כלפי מעלה; כש-f\displaystyle f יורדת – קעורה כלפי מטה.
  • בנקודת קיצון של f\displaystyle f הקעירות של Fa\displaystyle F_a מתחלפת: ל-Fa\displaystyle F_a יש שם נקודת פיתול.
מהירות ודרך

בדוגמה שלפניכם נקרא את התכונות של פונקציית הדרך ממהירות של מכונית צעצוע: f(t)=4t−t2\displaystyle {f(t)}={4t-t^2} מטרים לשנייה, 0≤t≤4\displaystyle 0\le t\le4, והדרך F0(x)=∫0xf(t) dt\displaystyle {F_0(x)}={\int_0^x f(t)\,dt}:

f(x)=4x−x2\displaystyle f(x)=4x-x^{2}
  • f>0\displaystyle f>0 בכל התחום, ולכן הדרך F0\displaystyle F_0 עולה כל הזמן, מ-F0(0)=0\displaystyle {F_0(0)}={0}.
  • עד t=2\displaystyle {t}={2} המהירות עולה: הדרך עולה בקצב הולך וגדל, קעורה כלפי מעלה.
  • אחרי t=2\displaystyle {t}={2} המהירות יורדת: הדרך עדיין עולה, אבל לאט יותר – קעורה כלפי מטה.
  • ב-t=2\displaystyle {t}={2}, המקסימום של המהירות, יש לגרף הדרך נקודת פיתול.

זה הגרף של F0\displaystyle F_0 (את הנוסחה שלו תמצאו בשיעור הבא):

F(x)=2x2−x33\displaystyle F(x)=2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}
גבול תחתון אחר

כשמחליפים את הגבול התחתון, הגרף של פונקציית ההצטברות זז למעלה או למטה, והצורה שלו נשמרת:

  • Fb(x)=Fa(x)−Fa(b)\displaystyle {F_b(x)}={F_a(x)-F_a(b)}: מה שהצטבר מ-b\displaystyle b הוא מה שהצטבר מ-a\displaystyle a, פחות מה שהצטבר מ-a\displaystyle a עד b\displaystyle b.
  • Fa(b)\displaystyle F_a(b) הוא מספר קבוע, ולכן ההפרש בין שתי פונקציות ההצטברות קבוע.
  • לכן העלייה, הירידה, נקודות הקיצון והפיתול – באותם x\displaystyle x; רק הגובה משתנה.
תרגיל 1

בלוח שלפניכם הגרף של f\displaystyle f.
F(x)=∫0xf(t) dt\displaystyle {F(x)}={\int_0^x f(t)\,dt}.

f(x)\displaystyle f(x)
א

חשבו את F(2)\displaystyle F(2), F(4)\displaystyle F(4) ו-F(6)\displaystyle F(6) לפי השטחים של המשולשים.

ב

באיזה תחום F\displaystyle F עולה, ובאיזה היא יורדת? מהן נקודות הקיצון של F\displaystyle F, ומה סוגן?

ג

בתחום 0<x<4\displaystyle 0<x<4 הפונקציה f\displaystyle f יורדת. איך F\displaystyle F קעורה שם?

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4x+3\displaystyle {f(x)}={x^2-4x+3}.
G(x)=∫0xf(t) dt\displaystyle {G(x)}={\int_0^x f(t)\,dt}.

א

סמנו בלוח את הנקודות על ציר ה-x\displaystyle x שבשיעורי ה-x\displaystyle x שלהן יש ל-G\displaystyle G נקודות קיצון.

f(x)=x2−4x+3\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+3

ב

באיזו נקודה יש ל-G\displaystyle G מקסימום, ובאיזו מינימום? באיזה x\displaystyle x יש לגרף של G\displaystyle G נקודת פיתול?