בעיות הצטברות: תנועה, זרימה, פרמטר וקיצון

המהירות $\displaystyle v(t)$ היא קצב השינוי של המקום $\displaystyle s(t)$, ולכן האינטגרל של המהירות הוא השינוי במקום – ההעתק. הדרך שגוף עבר היא השטח שבין גרף המהירות לציר, בלי סימן. בדוגמה שלפניכם גוף נע במהירות $\displaystyle {v(t)}={t^2-4t+3}$ מטרים לשנייה, $\displaystyle 0\le t\le4$:

• ההעתק: $\displaystyle {\int_0^4\left(t^2-4t+3\right)dt}={\left[\frac{t^3}{3}-2t^2+3t\right]_0^4}={\frac{64}{3}-32+12}={\frac{4}{3}}$ מטרים.
• המהירות מחליפה סימן ב-$\displaystyle {t}={1}$ וב-$\displaystyle {t}={3}$: הגוף מתקדם, חוזר אחורה, ושוב מתקדם.
• $\displaystyle {\int_0^1v\,dt}={\frac{4}{3}}$, $\displaystyle {\int_1^3v\,dt}={-\frac{4}{3}}$, $\displaystyle {\int_3^4v\,dt}={\frac{4}{3}}$.
• הדרך: $\displaystyle {\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}={4}$ מטרים.

בדוגמה שלפניכם מים זורמים אל מיכל במשך 10 דקות, בקצב $\displaystyle {f(t)}={5-0.5t}$ ליטרים לדקה:

• כמות המים שזרמה ב-$\displaystyle x$ הדקות הראשונות: $\displaystyle {W(x)}={\int_0^x\left(5-0.5t\right)dt}={5x-\frac{x^2}{4}}$.
• ב-10 הדקות זרמו $\displaystyle {W(10)}={50-25}={25}$ ליטרים.
• $\displaystyle {W'(x)}={5-0.5x}$: הנגזרת של הכמות היא הקצב – המשפט היסודי.
• הקצב יורד, ולכן ב-5 הדקות הראשונות זורמים יותר מבחמש האחרונות: $\displaystyle {W(5)}={18.75}$, ו-$\displaystyle {25-18.75}={6.25}$.

כשהשטח נתון והגבול לא ידוע, האינטגרל נותן משוואה. בדוגמה שלפניכם השטח שמתחת לגרף של $\displaystyle {y}={x^2}$ בין $\displaystyle {x}={0}$ ל-$\displaystyle {x}={k}$ ($\displaystyle k>0$) הוא 9:

• $\displaystyle {\int_0^kx^2\,dx}={\frac{k^3}{3}}$.
• $\displaystyle {\frac{k^3}{3}}={9}$, ולכן $\displaystyle {k^3}={27}$ ו-$\displaystyle {k}={3}$.

שטח שאחד הגבולות שלו משתנה הוא פונקציה, ואפשר לחפש לה קיצון. המשפט היסודי נותן את הנגזרת בלי לחשב את האינטגרל. בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle k$ שבשבילו השטח שמתחת לגרף של $\displaystyle {f(x)}={4x-x^2}$ בקטע $\displaystyle [k,k+1]$, $\displaystyle 0\le k\le3$, הכי גדול:

• $\displaystyle {A(k)}={\int_k^{k+1}f(x)\,dx}={F(k+1)-F(k)}$, ו-$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$.
• $\displaystyle {A'(k)}={f(k+1)-f(k)}={4(k+1)-(k+1)^2-4k+k^2}={3-2k}$.
• $\displaystyle {A'(k)}={0}$ כש-$\displaystyle {k}={1.5}$; לפני כן $\displaystyle A'>0$, ואחר כך $\displaystyle A'<0$: מקסימום.
• הקטע $\displaystyle [1.5,2.5]$ סימטרי סביב $\displaystyle {x}={2}$, הקודקוד של הפרבולה – הקטע שבו הגרף הכי גבוה.

גוף נע על ישר במהירות $\displaystyle {v(t)}={6-2t}$ מטרים לשנייה, $\displaystyle 0\le t\le5$.

מה ההעתק של הגוף אחרי 5 שניות?

מה הדרך שהגוף עבר ב-5 השניות?

קניון נפתח בשעה 9:00.
בלוח שלפניכם קצב הכניסה של אנשים לקניון, באנשים לדקה, לפי הזמן בדקות מהפתיחה.

כמה אנשים נכנסו לקניון עד 12:00?

השטח הכלוא בין הגרף של $\displaystyle {y}={x^2}$ לישר $\displaystyle {y}={kx}$, $\displaystyle k>0$, הוא 36.

הגרפים נחתכים ב-$\displaystyle {x}={0}$ וב-$\displaystyle {x}={k}$. כתבו את השטח כביטוי ב-$\displaystyle k$.

מצאו את $\displaystyle k$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={6x-x^2}$.
$\displaystyle A(k)$ הוא השטח שמתחת לגרף בקטע $\displaystyle [k,k+2]$, $\displaystyle 0\le k\le4$.

כתבו את $\displaystyle A(k)$ בלי אינטגרל.

מצאו את $\displaystyle k$ שבשבילו $\displaystyle A(k)$ הכי גדול: פתרו $\displaystyle {A'(k)}={0}$.