הצטברות של קצב קבוע ושל פונקציית מדרגות

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 3 מתוך 20לימוד

הצטברות של קצב קבוע ושל פונקציית מדרגות

קצב קבוע

כשגודל משתנה בקצב קבוע, מה שמצטבר הוא הקצב כפול הזמן. בדוגמה שלפניכם מכונית נוסעת בכביש ישר במהירות קבועה של 80 קמ"ש:

המהירות היא קצב השינוי של הדרך: כמה קילומטרים נוספים בכל שעה.
אחרי 3 שעות המכונית עברה $\displaystyle {80\cdot3}={240}$ ק"מ.
בגרף המהירות, $\displaystyle 80\cdot3$ הוא השטח של המלבן שמתחת לגרף, מ- $\displaystyle {t}={0}$ עד $\displaystyle {t}={3}$ .
אחרי $\displaystyle t$ שעות היא עברה $\displaystyle {s(t)}={80t}$ ק"מ: הדרך המצטברת היא פונקציה לינארית של הזמן.

בלוח שלפניכם ציר ה- $\displaystyle x$ הוא הזמן בשעות וציר ה- $\displaystyle y$ הוא המהירות בקמ"ש:

\displaystyle v(x)=80

פונקציית מדרגות

כשהקצב קבוע בכל קטע זמן אבל משתנה מקטע לקטע, הגרף שלו הוא פונקציית מדרגות, וההצטברות היא סכום המלבנים. בדוגמה שלפניכם מכונית נוסעת שעתיים במהירות 60 קמ"ש ואחר כך שעה במהירות 90 קמ"ש:

בשעתיים הראשונות: $\displaystyle {60\cdot2}={120}$ ק"מ.
בשעה השלישית: $\displaystyle {90\cdot1}={90}$ ק"מ.
אחרי 3 שעות: $\displaystyle {120+90}={210}$ ק"מ – השטח שמתחת לגרף המהירות.

\displaystyle v(x)

הדרך המצטברת אחרי $\displaystyle t$ שעות עולה בשיפוע 60 עד $\displaystyle {t}={2}$ , ואחר כך בשיפוע 90 – תלולה יותר. השיפוע של גרף הדרך הוא המהירות:

\displaystyle s(x)

קצב שלילי

קצב שלילי מקטין את הגודל המצטבר, ולכן שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$ נספר במינוס. בדוגמה שלפניכם רוכב אופניים נוסע 5 שעות במהירות 25 קמ"ש מזרחה, ואחר כך 3 שעות במהירות 15 קמ"ש חזרה מערבה:

נקבע שהכיוון מזרחה חיובי, ולכן בשלוש השעות האחרונות המהירות היא $\displaystyle -15$ קמ"ש.
בחמש השעות הראשונות הוא התרחק $\displaystyle {25\cdot5}={125}$ ק"מ.
בשלוש השעות האחרונות המרחק מנקודת המוצא השתנה ב- $\displaystyle {(-15)\cdot3}={-45}$ ק"מ.

\displaystyle v(x)

ההעתק – המקום ביחס לנקודת המוצא – הוא סכום השטחים עם הסימן: $\displaystyle {125-45}={80}$ ק"מ.
הדרך שעבר היא סכום השטחים בלי הסימן: $\displaystyle {125+45}={170}$ ק"מ.
בגרף ההעתק: עלייה עד $\displaystyle {t}={5}$ (מקסימום 125), ואחר כך ירידה. המקסימום הוא ברגע שבו המהירות החליפה סימן.

\displaystyle s(x)

הצטברות בהקשרים אחרים

אותו רעיון מתאים לכל גודל שנתון קצב השינוי שלו:

מים בבריכה: קצב מילוי (מ"ק לדקה) חיובי, קצב ריקון שלילי; השטח הוא השינוי בכמות המים.
כסף בחשבון: הכנסה בשבוע חיובית, הוצאה שלילית; השטח הוא השינוי ביתרה.
בכל מקרה: הגודל המצטבר הוא השטח שבין גרף הקצב לציר ה- $\displaystyle x$ , בחישוב הסימן.

תרגיל 1

במכל היו 10 ליטרים של מים.
בחמש הדקות הראשונות זרמו אליו מים בקצב של 4 ליטרים לדקה.
בשלוש הדקות הבאות הברז היה סגור.
בשש הדקות האחרונות התרוקנו ממנו מים בקצב של 2 ליטרים לדקה.

\displaystyle r(x)

כמה מים היו במכל אחרי 5 דקות?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה מים היו במכל אחרי 14 דקות?

מתי היו במכל הכי הרבה מים? הסבירו.

תרגיל 2

גוף נע על ישר.
בלוח שלפניכם גרף המהירות שלו, במטרים לשנייה, לפי הזמן בשניות.

\displaystyle v(x)

מה ההעתק של הגוף אחרי 10 שניות?

מה הדרך שעבר הגוף ב-10 השניות?

באיזה רגע הגוף חוזר לנקודת המוצא?

תרגיל 3

הקצב קבוע: $\displaystyle {f(x)}={2}$ .
$\displaystyle F(x)$ היא ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle {x}={1}$ ועד $\displaystyle x$ : השטח שמתחת לגרף של $\displaystyle f$ בין 1 ל- $\displaystyle x$ .
כתבו בלוח את $\displaystyle F(x)$ .

\displaystyle f(x)=2

נוסחאות: חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אינטגרלים מיידיים

האינטגרל הלא מסוים – כל הפונקציות הקדומות
$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$
חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
קבוע
$\displaystyle \int k\,dx=kx+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C$
אחד חלקי שורש
$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$
שורש
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

כללי האינטגרציה

כפל בקבוע
$\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\int f(x)\,dx$
סכום והפרש
$\displaystyle \int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
פונקציה פנימית לינארית
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה
$\displaystyle \int\left(u(x)\right)^{n}\cdot u^{\prime}(x)\,dx=\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$

פונקציות טריגונומטריות (ברדיאנים)

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$
$\displaystyle \sin^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$
$\displaystyle \cos^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}$
$\displaystyle \sin x\cos x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$
מ- $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$
$\displaystyle \tan^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1$

פונקציית ההצטברות והאינטגרל המסוים

פונקציית ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle a$
$\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
המשפט היסודי
$\displaystyle F_{a}^{\prime}(x)=f(x)$
האינטגרל המסוים, $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
אותו גבול
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
החלפת הגבולות
$\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
חיבור תחומים
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\geq0$
שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\leq0$
שטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
ההעתק לפי המהירות
$\displaystyle s(b)-s(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$