הפונקציה הקדומה והאינטגרל הלא מסוים

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 1 מתוך 20לימוד

הפונקציה הקדומה והאינטגרל הלא מסוים

פונקציה קדומה

בכיתה י’ למדתם: פונקציה קדומה של $\displaystyle f$ היא פונקציה $\displaystyle F$ שהנגזרת שלה היא $\displaystyle f$ , כלומר $\displaystyle {F'(x)}={f(x)}$ .

$\displaystyle {F(x)}={x^3}$ היא פונקציה קדומה של $\displaystyle {f(x)}={3x^2}$ , כי $\displaystyle {(x^3)'}={3x^2}$ .
גם $\displaystyle x^3+5$ ו- $\displaystyle x^3-2$ הן פונקציות קדומות של $\displaystyle 3x^2$ : הנגזרת של מספר קבוע היא 0.
לכל הפונקציות הקדומות של $\displaystyle f$ יש אותו שיפוע בכל $\displaystyle x$ , ולכן הגרפים שלהן הם אותו גרף, מוזז למעלה או למטה.
כל הפונקציות הקדומות של $\displaystyle f$ הן $\displaystyle F(x)+C$ , כש- $\displaystyle C$ מספר כלשהו.

\displaystyle y=x^{3}

\displaystyle y=x^{3}+2

\displaystyle y=x^{3}-2

האינטגרל הלא מסוים

את כל הפונקציות הקדומות של $\displaystyle f$ כותבים בסימן אחד, האינטגרל הלא מסוים של $\displaystyle f$ :

\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C

\displaystyle F'(x)=f(x)

קוראים: “האינטגרל של $\displaystyle f(x)$ לפי $\displaystyle x$ ”.
$\displaystyle dx$ אומר ש- $\displaystyle x$ הוא המשתנה.
$\displaystyle C$ הוא קבוע האינטגרציה: בלעדיו נשארת רק פונקציה קדומה אחת מכל המשפחה.
מציאת האינטגרל נקראת אינטגרציה, והיא הפעולה ההפוכה לגזירה. למשל, $\displaystyle {\int3x^2\,dx}={x^3+C}$ .

האינטגרל של חזקה

כשגוזרים $\displaystyle x^{n+1}$ מקבלים $\displaystyle (n+1)x^n$ . לכן כדי לקבל $\displaystyle x^n$ מעלים את החזקה ב-1 ומחלקים בחזקה החדשה:

\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

\displaystyle n\neq-1

\displaystyle \int k\,dx=kx+C

$\displaystyle {\int x^4\,dx}={\frac{x^5}{5}+C}$ .
$\displaystyle {\int x\,dx}={\frac{x^2}{2}+C}$ .
$\displaystyle {\int7\,dx}={7x+C}$ .
בדיקה: גוזרים את התוצאה, וצריך לקבל את הפונקציה שבתוך האינטגרל.

האינטגרל של פולינום

את האינטגרל של פולינום מוצאים איבר אחרי איבר: מספר שכופל חזקה נשאר כופל אותה, ואת האינטגרלים של האיברים מחברים. בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle \int\left(6x^2-4x+5\right)dx$ :

$\displaystyle {\int6x^2\,dx}={6\cdot\frac{x^3}{3}}={2x^3}$ .
$\displaystyle {\int4x\,dx}={4\cdot\frac{x^2}{2}}={2x^2}$ .
$\displaystyle {\int5\,dx}={5x}$ .
קבוע אחד, $\displaystyle C$ , לכל האינטגרל:

\int\left(6x^2-4x+5\right)dx=2x^3-2x^2+5x+C

בדיקה: $\displaystyle {\left(2x^3-2x^2+5x+C\right)'}={6x^2-4x+5}$ .

מכפלה: פותחים סוגריים קודם

אין כלל לאינטגרל של מכפלה: האינטגרל של מכפלה אינו מכפלת האינטגרלים. לכן פותחים קודם את הסוגריים. בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle \int x(3x-2)\,dx$ :

\int x(3x-2)\,dx=\int\left(3x^2-2x\right)dx=x^3-x^2+C

מכפלת האינטגרלים, $\displaystyle \frac{x^2}{2}\cdot\left(\frac{3x^2}{2}-2x\right)$ , נותנת בגזירה פולינום ממעלה שלישית – לא $\displaystyle 3x^2-2x$ .

תרגיל 1

מצאו את האינטגרלים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

המשתנה כאן הוא $\displaystyle t$ .

תרגיל 2

$\displaystyle {F(x)}={x^3+2x^2}$ היא פונקציה קדומה של פונקציה $\displaystyle f$ .
מצאו את $\displaystyle f(x)$ .

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={3x^2-3}$ .

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של $\displaystyle f$ .

הגרף של אחת הפונקציות הקדומות עובר בנקודה $\displaystyle A(0,2)$ .
כתבו אותה בלוח.

\displaystyle A=(0,2)

נוסחאות: חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אינטגרלים מיידיים

האינטגרל הלא מסוים – כל הפונקציות הקדומות
$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$
חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
קבוע
$\displaystyle \int k\,dx=kx+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C$
אחד חלקי שורש
$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$
שורש
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

כללי האינטגרציה

כפל בקבוע
$\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\int f(x)\,dx$
סכום והפרש
$\displaystyle \int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
פונקציה פנימית לינארית
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה
$\displaystyle \int\left(u(x)\right)^{n}\cdot u^{\prime}(x)\,dx=\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$

פונקציות טריגונומטריות (ברדיאנים)

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$
$\displaystyle \sin^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$
$\displaystyle \cos^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}$
$\displaystyle \sin x\cos x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$
מ- $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$
$\displaystyle \tan^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1$

פונקציית ההצטברות והאינטגרל המסוים

פונקציית ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle a$
$\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
המשפט היסודי
$\displaystyle F_{a}^{\prime}(x)=f(x)$
האינטגרל המסוים, $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
אותו גבול
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
החלפת הגבולות
$\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
חיבור תחומים
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\geq0$
שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\leq0$
שטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
ההעתק לפי המהירות
$\displaystyle s(b)-s(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$