קירוב ההצטברות במלבנים

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 4 מתוך 20לימוד

קירוב ההצטברות במלבנים

קצב שאינו קבוע

כשהקצב אינו קבוע, אין מלבן אחד שהשטח שלו הוא ההצטברות. לכן מחלקים את התחום לקטעים שווים, ובכל קטע בוחרים ערך קבוע קרוב לערכי הפונקציה בו. כך הפונקציה מוחלפת בפונקציית מדרגות, וסכום המלבנים הוא קירוב להצטברות.

בדוגמה שלפניכם נקרב את השטח שמתחת לגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ בתחום $\displaystyle 1\le x\le2$ , במלבן אחד:

גובה המלבן – הערך בקצה השמאלי: $\displaystyle {f(1)}={1}$ . השטח: $\displaystyle {1\cdot1}={1}$ – קטן מדי.
הערך בקצה הימני: $\displaystyle {f(2)}={4}$ . השטח: $\displaystyle {4\cdot1}={4}$ – גדול מדי.
ממוצע שני הערכים: $\displaystyle {\frac{1+4}{2}}={2.5}$ . השטח: $\displaystyle 2.5$ .
השטח המדויק, $\displaystyle \frac{7}{3}\approx2.33$ , נמצא בין 1 ל-4. (איך מחשבים אותו – בשיעורים הבאים.)

ארבעה מלבנים

בדוגמה שלפניכם נחלק את אותו תחום, $\displaystyle 1\le x\le2$ , לארבעה קטעים שרוחב כל אחד מהם $\displaystyle 0.25$ , וגובה כל מלבן יהיה הערך בקצה השמאלי של הקטע:

הגבהים: $\displaystyle {f(1)}={1}$ , $\displaystyle {f(1.25)}={1.5625}$ , $\displaystyle {f(1.5)}={2.25}$ , $\displaystyle {f(1.75)}={3.0625}$ .
סכום המלבנים: $\displaystyle {0.25\cdot(1+1.5625+2.25+3.0625)}={1.96875}$ .

\displaystyle f(x)=x^{2}

\displaystyle g(x)

עם הקצה הימני: $\displaystyle {0.25\cdot(1.5625+2.25+3.0625+4)}={2.71875}$ .
הקירובים קרובים יותר לשטח המדויק, $\displaystyle 2.33$ , מאלה של המלבן האחד.
ככל שמחלקים לקטעים קצרים יותר, ההפרש בין שני הקירובים קטן, ושניהם מתקרבים לשטח המדויק. עם 100 קטעים: $\displaystyle 2.31835$ ו- $\displaystyle 2.34835$ .

פונקציה קווית

כשהפונקציה קווית, הממוצע של הערכים בשני הקצוות נותן את השטח המדויק: השטח שמתחת לישר הוא טרפז, והשטח של טרפז הוא ממוצע הבסיסים כפול הגובה. בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {f(x)}={x+1}$ בתחום $\displaystyle 0\le x\le2$ :

הערכים בקצוות: $\displaystyle {f(0)}={1}$ ו- $\displaystyle {f(2)}={3}$ .
השטח: $\displaystyle {\frac{1+3}{2}\cdot2}={4}$ – בדיוק.
המשולש שהמלבן מוסיף מעל הישר שווה למשולש שהוא מחסיר מתחתיו.

\displaystyle f(x)=x+1

\displaystyle g(x)

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ בתחום $\displaystyle 0\le x\le2$ .
מחלקים את התחום לארבעה קטעים שרוחב כל אחד מהם $\displaystyle 0.5$ .

\displaystyle f(x)=x^{2}

חשבו את סכום המלבנים, כשגובה כל מלבן הוא הערך בקצה השמאלי של הקטע.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את סכום המלבנים, כשגובה כל מלבן הוא הערך בקצה הימני של הקטע.

השטח המדויק הוא $\displaystyle \frac{8}{3}$ . איזה משני הקירובים קרוב אליו יותר?

תרגיל 2

רצה מתחילה לרוץ ממנוחה.
המהירות שלה נמדדה כל 10 שניות:

זמן (שניות)	0	10	20	30	40
מהירות (מטרים לשנייה)	0	6	8	9	9.5

הניחו שבכל 10 שניות היא רצה במהירות שבתחילתן. כמה מטרים היא רצה ב-40 השניות?

הניחו שבכל 10 שניות היא רצה במהירות שבסופן. כמה מטרים היא רצה?

המהירות שלה עלתה כל הזמן. מה אפשר להגיד על הדרך האמיתית?

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={2x+1}$ .
חשבו את השטח המדויק שמתחת לגרף שלה בתחום $\displaystyle 1\le x\le3$ , בעזרת ממוצע הערכים בקצוות.

נוסחאות: חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אינטגרלים מיידיים

האינטגרל הלא מסוים – כל הפונקציות הקדומות
$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$
חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
קבוע
$\displaystyle \int k\,dx=kx+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C$
אחד חלקי שורש
$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$
שורש
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

כללי האינטגרציה

כפל בקבוע
$\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\int f(x)\,dx$
סכום והפרש
$\displaystyle \int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
פונקציה פנימית לינארית
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה
$\displaystyle \int\left(u(x)\right)^{n}\cdot u^{\prime}(x)\,dx=\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$

פונקציות טריגונומטריות (ברדיאנים)

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$
$\displaystyle \sin^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$
$\displaystyle \cos^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}$
$\displaystyle \sin x\cos x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$
מ- $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$
$\displaystyle \tan^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1$

פונקציית ההצטברות והאינטגרל המסוים

פונקציית ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle a$
$\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
המשפט היסודי
$\displaystyle F_{a}^{\prime}(x)=f(x)$
האינטגרל המסוים, $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
אותו גבול
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
החלפת הגבולות
$\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
חיבור תחומים
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\geq0$
שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\leq0$
שטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
ההעתק לפי המהירות
$\displaystyle s(b)-s(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$