השטח בין גרף לציר x

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 16 מתוך 20לימוד

השטח בין גרף לציר x

מעל הציר ומתחתיו

שטח הוא תמיד חיובי, אבל אינטגרל של פונקציה שלילית שלילי. לכן:

\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx

\displaystyle f(x)\geq0

\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx

\displaystyle f(x)\leq0

כשהפונקציה מחליפה סימן בתחום, מוצאים את נקודות האפס שלה, מחלקים בהן את התחום, ומחברים את השטחים של החלקים.
אינטגרל אחד על פני כל התחום נותן את ההפרש בין השטח שמעל הציר לשטח שמתחת לו – לא את השטח.

פונקציה שמחליפה סימן

בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח בין הגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^2-1}$ לציר ה- $\displaystyle x$ , בתחום $\displaystyle 0\le x\le2$ :

\displaystyle f(x)=x^{2}-1

נקודת האפס בתחום: $\displaystyle {x}={1}$ . בין 0 ל-1 הגרף מתחת לציר, ובין 1 ל-2 מעליו.
$\displaystyle {\int_0^1\left(x^2-1\right)dx}={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_0^1}={-\frac{2}{3}}$ : השטח $\displaystyle \frac{2}{3}$ .
$\displaystyle {\int_1^2\left(x^2-1\right)dx}={\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)}={\frac{4}{3}}$ .
השטח כולו: $\displaystyle {\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}={2}$ . (אינטגרל אחד מ-0 עד 2 היה נותן $\displaystyle {-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}={\frac{2}{3}}$ .)

שטח כלוא

“השטח הכלוא בין הגרף לציר ה- $\displaystyle x$ ” הוא השטח שבין שתי נקודות אפס סמוכות – הגבולות לא נתונים, ומוצאים אותם. בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {f(x)}={3x-x^2}$ :

נקודות האפס: $\displaystyle {3x-x^2}={0}$ , כלומר $\displaystyle {x}={0}$ או $\displaystyle {x}={3}$ .
בין 0 ל-3 הגרף מעל הציר: $\displaystyle {S}={\int_0^3\left(3x-x^2\right)dx}={\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3}={\frac{27}{2}-9}={\frac{9}{2}}$ .

\displaystyle f(x)=3x-x^{2}

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-4x}$ .

סמנו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $\displaystyle x$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-4x

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר ה- $\displaystyle x$ בתחום $\displaystyle 0\le x\le2$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מה השטח הצבוע כולו? מה $\displaystyle \int_{-2}^2f(x)\,dx$ ? הסבירו.

השטח הצבוע

\displaystyle \int_{-2}^2f(x)\,dx

תרגיל 2

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\cos x}$ , ציר ה- $\displaystyle x$ , ציר ה- $\displaystyle y$ והישר $\displaystyle {x}={\pi}$ .

\displaystyle f(x)=\cos x

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x^2}-1}$ , בתחום $\displaystyle x>0$ .
חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה- $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={\frac{1}{2}}$ ו- $\displaystyle {x}={2}$ .

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}-1

נוסחאות: חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אינטגרלים מיידיים

האינטגרל הלא מסוים – כל הפונקציות הקדומות
$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$
חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
קבוע
$\displaystyle \int k\,dx=kx+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C$
אחד חלקי שורש
$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$
שורש
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

כללי האינטגרציה

כפל בקבוע
$\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\int f(x)\,dx$
סכום והפרש
$\displaystyle \int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
פונקציה פנימית לינארית
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה
$\displaystyle \int\left(u(x)\right)^{n}\cdot u^{\prime}(x)\,dx=\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$

פונקציות טריגונומטריות (ברדיאנים)

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$
$\displaystyle \sin^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$
$\displaystyle \cos^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}$
$\displaystyle \sin x\cos x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$
מ- $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$
$\displaystyle \tan^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1$

פונקציית ההצטברות והאינטגרל המסוים

פונקציית ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle a$
$\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
המשפט היסודי
$\displaystyle F_{a}^{\prime}(x)=f(x)$
האינטגרל המסוים, $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
אותו גבול
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
החלפת הגבולות
$\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
חיבור תחומים
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\geq0$
שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\leq0$
שטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
ההעתק לפי המהירות
$\displaystyle s(b)-s(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$