השטח בין שני גרפים

השטח בין שני גרפים הוא השטח שמתחת לגרף העליון פחות השטח שמתחת לגרף התחתון:

• הנוסחה נכונה גם כשהגרפים, או חלק מהם, מתחת לציר ה-$\displaystyle x$: כשמזיזים את שני הגרפים באותו מספר למעלה, ההפרש $\displaystyle f(x)-g(x)$ לא משתנה.
• כשהשטח כלוא בין הגרפים, הגבולות הם שיעורי ה-$\displaystyle x$ של נקודות החיתוך.
• כשהגרפים מתחלפים בתחום – מחלקים בנקודת החיתוך, ובכל חלק העליון פחות התחתון.

בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח הכלוא בין הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={x+2}$ ושל $\displaystyle {g(x)}={x^2}$:

• נקודות החיתוך: $\displaystyle {x^2}={x+2}$, כלומר $\displaystyle {x^2-x-2}={0}$, ו-$\displaystyle {x}={-1}$ או $\displaystyle {x}={2}$.
• בין $\displaystyle -1$ ל-2 הישר מעל הפרבולה (למשל ב-0: $\displaystyle 2>0$).
• $\displaystyle {S}={\int_{-1}^{2}\left(x+2-x^2\right)dx}={\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}}={\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)}={\frac{9}{2}}$.

כשהגבול העליון של השטח עובר מגרף אחד לגרף אחר, מחלקים את השטח בנקודה שבה הם נחתכים. בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}$ ושל $\displaystyle {g(x)}={2-x}$ וציר ה-$\displaystyle x$:

• נקודת החיתוך: $\displaystyle {\sqrt{x}}={2-x}$ נותן $\displaystyle {x}={1}$ (גם $\displaystyle {x}={4}$ פותר את המשוואה בריבוע, אבל $\displaystyle {\sqrt4}={2\neq-2}$).
• בין 0 ל-1 השטח מתחת ל-$\displaystyle \sqrt{x}$: $\displaystyle {\int_0^1\sqrt{x}\,dx}={\frac{2}{3}}$.
• בין 1 ל-2 השטח מתחת לישר: משולש, $\displaystyle {\frac{1\cdot1}{2}}={\frac{1}{2}}$.
• השטח כולו: $\displaystyle {\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}={\frac{7}{6}}$.

בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח הכלוא בין הגרפים של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$, בין שתי נקודות חיתוך סמוכות:

• $\displaystyle {\sin x}={\cos x}$ כש-$\displaystyle {\tan x}={1}$: $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{4}}$ ו-$\displaystyle {x}={\frac{5\pi}{4}}$.
• ביניהן $\displaystyle \sin x\geq\cos x$ (למשל ב-$\displaystyle \frac{\pi}{2}$: $\displaystyle 1>0$).
• $\displaystyle {S}={\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\left(\sin x-\cos x\right)dx}={\left[-\cos x-\sin x\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}}={\sqrt2-\left(-\sqrt2\right)}={2\sqrt2}$.

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x^2-4x+5}$ ו-$\displaystyle {g(x)}={x+1}$.

מצאו את שיעורי ה-$\displaystyle x$ של נקודות החיתוך של הגרפים.

סמנו את נקודות החיתוך בלוח.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={x}$ ושל $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x^2}}$ והישר $\displaystyle {x}={2}$.

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={\sin2x}$ ו-$\displaystyle {g(x)}={\sin x}$, בתחום $\displaystyle 0\le x\le\pi$.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {\sin2x}={\sin x}$ בתחום.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים בתחום $\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{3}$.