האינטגרל המסוים ותכונותיו

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 7 מתוך 20לימוד

האינטגרל המסוים ותכונותיו

חישוב אינטגרל מסוים

את האינטגרל המסוים מחשבים בשלושה צעדים: פונקציה קדומה, הצבת הגבולות, הפרש. בדוגמה שלפניכם נחשב את $\displaystyle \int_{-1}^{2}\left(x^2-2x\right)dx$ :

פונקציה קדומה: $\displaystyle \frac{x^3}{3}-x^2$ .
$\displaystyle {\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-1}^{2}}={\left(\frac{8}{3}-4\right)-\left(-\frac{1}{3}-1\right)}={-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}={0}$ .
האינטגרל 0, אבל יש שטח: השטח מעל הציר, בין $\displaystyle -1$ ל-0, שווה לשטח מתחת לציר, בין 0 ל-2.

\displaystyle f(x)=x^{2}-2x

תכונות האינטגרל המסוים

התכונות של האינטגרל המסוים נובעות מ- $\displaystyle {\int_a^b f(x)\,dx}={F(b)-F(a)}$ , וגם מהשטחים:

\displaystyle \int_{a}^{b}k\cdot f(x)\,dx

\displaystyle =

\displaystyle k\int_{a}^{b}f(x)\,dx

\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx

\displaystyle =

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx

\displaystyle =

\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx

\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx

\displaystyle =

\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx

מ- $\displaystyle a$ עד $\displaystyle a$ : $\displaystyle {\int_a^a f(x)\,dx}={F(a)-F(a)}={0}$ .
כש- $\displaystyle f(x)\geq0$ בכל התחום ( $\displaystyle a<b$ ), האינטגרל אינו שלילי: הוא השטח.
כש- $\displaystyle f(x)\leq0$ בכל התחום, האינטגרל הוא מינוס השטח.

אינטגרלים לפי שטח נתון

לפעמים אין נוסחה, רק שטח, ובכל זאת אפשר לחשב אינטגרלים בעזרת התכונות. בדוגמה שלפניכם הגרף של $\displaystyle f$ מעל ציר ה- $\displaystyle x$ בתחום $\displaystyle 2\le x\le6$ , והשטח שמתחתיו 40, כלומר $\displaystyle {\int_2^6 f(x)\,dx}={40}$ :

\displaystyle f(x)=\frac{15}{16}x(7-x)

$\displaystyle {\int_2^6\left(f(x)+5\right)dx}={40+\int_2^6 5\,dx}={40+5\cdot4}={60}$ : הגרף עלה ב-5, והתווסף מלבן.
$\displaystyle {\int_2^6\left(f(x)-3\right)dx}={40-3\cdot4}={28}$ .
$\displaystyle {\int_2^6 -f(x)\,dx}={-40}$ : הגרף שוקף מעל ציר ה- $\displaystyle x$ .
$\displaystyle {\int_0^4 f(x+2)\,dx}={40}$ : הגרף של $\displaystyle f(x+2)$ הוא הגרף של $\displaystyle f$ מוזז 2 שמאלה, והתחום $\displaystyle 0\le x\le4$ זז איתו.
$\displaystyle \int_2^6 f(x+2)\,dx$ אי אפשר לחשב: זה השטח מתחת ל- $\displaystyle f$ בין 4 ל-8, וצריך מידע נוסף.

תרגיל 1

חשבו את האינטגרלים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

שימו לב לסדר הגבולות.

תרגיל 2

נתון: $\displaystyle {\int_0^3 f(x)\,dx}={7}$ ו- $\displaystyle {\int_3^5 f(x)\,dx}={-2}$ .
חשבו:

$\displaystyle \int_0^5 f(x)\,dx$

$\displaystyle \int_5^3 f(x)\,dx$

$\displaystyle \int_0^3\left(2f(x)+x\right)dx$

תרגיל 3

$\displaystyle k>0$ הוא מספר שבשבילו $\displaystyle {\int_0^k\left(2x-1\right)dx}={6}$ .

חשבו את האינטגרל כביטוי ב- $\displaystyle k$ .

מצאו את $\displaystyle k$ .

נוסחאות: חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אינטגרלים מיידיים

האינטגרל הלא מסוים – כל הפונקציות הקדומות
$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$
חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
קבוע
$\displaystyle \int k\,dx=kx+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C$
אחד חלקי שורש
$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$
שורש
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

כללי האינטגרציה

כפל בקבוע
$\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\int f(x)\,dx$
סכום והפרש
$\displaystyle \int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
פונקציה פנימית לינארית
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה
$\displaystyle \int\left(u(x)\right)^{n}\cdot u^{\prime}(x)\,dx=\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$

פונקציות טריגונומטריות (ברדיאנים)

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$
$\displaystyle \sin^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$
$\displaystyle \cos^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}$
$\displaystyle \sin x\cos x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$
מ- $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$
$\displaystyle \tan^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1$

פונקציית ההצטברות והאינטגרל המסוים

פונקציית ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle a$
$\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
המשפט היסודי
$\displaystyle F_{a}^{\prime}(x)=f(x)$
האינטגרל המסוים, $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
אותו גבול
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
החלפת הגבולות
$\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
חיבור תחומים
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\geq0$
שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\leq0$
שטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
ההעתק לפי המהירות
$\displaystyle s(b)-s(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$