פונקציה לפי הנגזרת שלה ונקודה

הנגזרת קובעת את הפונקציה עד כדי קבוע $\displaystyle C$, ונקודה אחת על הגרף קובעת את $\displaystyle C$. בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {f'(x)}={\frac{1}{x^2}+\cos x}$, $\displaystyle x\neq0$, והגרף של $\displaystyle f$ עובר בנקודה $\displaystyle \left(\frac{\pi}{2},3\right)$:

• $\displaystyle {f(x)}={\int\left(\frac{1}{x^2}+\cos x\right)dx}={-\frac{1}{x}+\sin x+C}$.
• $\displaystyle {f\left(\frac{\pi}{2}\right)}={3}$: $\displaystyle {-\frac{2}{\pi}+1+C}={3}$, ולכן $\displaystyle {C}={2+\frac{2}{\pi}}$.
• $\displaystyle {f(x)}={-\frac{1}{x}+\sin x+2+\frac{2}{\pi}}$.

לפעמים הנקודה לא נתונה ישירות, אלא מסתתרת במשיק. בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {f'(x)}={3x^2-6x}$, והישר $\displaystyle {y}={-3x+5}$ משיק לגרף של $\displaystyle f$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$:

• נקודת ההשקה על המשיק: $\displaystyle {y}={-3+5}={2}$, ולכן $\displaystyle {f(1)}={2}$.
• $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2+C}$, ו-$\displaystyle {1-3+C}={2}$, ולכן $\displaystyle {C}={4}$.
• $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2+4}$.
• בדיקה: $\displaystyle {f'(1)}={3-6}={-3}$ – השיפוע של המשיק.

מהנגזרת השנייה עוברים לפונקציה בשתי אינטגרציות, ולכן יש שני קבועים, וצריך שני תנאים. בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {f''(x)}={6x}$, ול-$\displaystyle f$ יש נקודת קיצון $\displaystyle (1,-1)$:

• $\displaystyle {f'(x)}={3x^2+C_1}$. בנקודת קיצון $\displaystyle {f'(1)}={0}$, ולכן $\displaystyle {3+C_1}={0}$ ו-$\displaystyle {C_1}={-3}$.
• $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x+C_2}$. $\displaystyle {f(1)}={-1}$, ולכן $\displaystyle {1-3+C_2}={-1}$ ו-$\displaystyle {C_2}={1}$.
• $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x+1}$. $\displaystyle {f''(1)}={6>0}$: הקיצון הוא מינימום.

$\displaystyle {f'(x)}={\frac{2}{\sqrt{x}}}$, ו-$\displaystyle x>0$.
הגרף של $\displaystyle f$ עובר בנקודה $\displaystyle A(4,10)$.

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של $\displaystyle f'$.

מצאו את $\displaystyle C$.

כתבו את $\displaystyle f$ בלוח.

$\displaystyle {f'(x)}={\sin2x}$.
הישר $\displaystyle {y}={1}$ משיק לגרף של $\displaystyle f$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}}$.

הראו שהשיפוע של $\displaystyle f$ ב-$\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}}$ מתאים למשיק.

מצאו את $\displaystyle f(x)$, וכתבו אותו בלוח.

$\displaystyle {f''(x)}={6x-2}$.
ל-$\displaystyle f$ יש נקודת מינימום $\displaystyle (1,0)$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

מצאו את $\displaystyle f(x)$, וכתבו אותו בלוח.

גוף נע על ישר במהירות $\displaystyle {v(t)}={6t-3t^2}$ מטרים לשנייה.
$\displaystyle t$ הוא הזמן בשניות, ובזמן $\displaystyle {t}={0}$ הגוף בנקודת המוצא: $\displaystyle {s(0)}={0}$.

מצאו את המקום $\displaystyle s(t)$.

מתי הגוף חוזר לנקודת המוצא?