המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

בדוגמה שלפניכם נחשב את פונקציית ההצטברות של $\displaystyle {f(t)}={at+b}$ מ-0, כשהישר מעל ציר ה-$\displaystyle x$: השטח בין 0 ל-$\displaystyle x$ הוא טרפז, שהבסיסים שלו $\displaystyle {f(0)}={b}$ ו-$\displaystyle {f(x)}={ax+b}$ והגובה שלו $\displaystyle x$:

• $\displaystyle {F_0'(x)}={ax+b}={f(x)}$: פונקציית ההצטברות היא פונקציה קדומה של $\displaystyle f$.
• האם זה קורה לכל פונקציה? המשפט הבא אומר שכן.

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי: אם $\displaystyle f$ רציפה, הנגזרת של פונקציית ההצטברות שלה היא $\displaystyle f$:

כלומר: קצב השינוי של הגודל המצטבר הוא הקצב הנתון. למשל, הנגזרת של הדרך היא המהירות.

בהוכחה שלפניכם נניח ש-$\displaystyle f$ חיובית ועולה, ונראה שמנת ההפרשים של $\displaystyle F_a$ שואפת ל-$\displaystyle f(x)$ (כשהפונקציה יורדת, או מחליפה סימן, ההוכחה דומה).

• $\displaystyle F_a(x+h)-F_a(x)$, כש-$\displaystyle h>0$, הוא השטח שמתחת לגרף בקטע הקטן $\displaystyle [x,x+h]$.
• $\displaystyle f$ עולה, ולכן בקטע הזה $\displaystyle f(x)\le f\le f(x+h)$: השטח גדול מהמלבן שגובהו $\displaystyle f(x)$ וקטן מהמלבן שגובהו $\displaystyle f(x+h)$:

• מחלקים ב-$\displaystyle h$:

• כש-$\displaystyle h\to0$, $\displaystyle f(x+h)\to f(x)$, כי $\displaystyle f$ רציפה. המנה שבאמצע לכודה בין שני ביטויים ששואפים ל-$\displaystyle f(x)$, ולכן גם היא שואפת ל-$\displaystyle f(x)$.
• הגבול של מנת ההפרשים הוא הנגזרת, ולכן $\displaystyle {F_a'(x)}={f(x)}$.

פונקציית ההצטברות היא פונקציה קדומה של $\displaystyle f$, וכל הפונקציות הקדומות של $\displaystyle f$ הן $\displaystyle F(x)+C$. מכולן, $\displaystyle F_a$ היא זו שערכה ב-$\displaystyle a$ הוא 0:

• $\displaystyle {F_a(x)}={F(x)+C}$, ו-$\displaystyle {F_a(a)}={0}$, ולכן $\displaystyle {F(a)+C}={0}$ ו-$\displaystyle {C}={-F(a)}$.
• לכן, לכל פונקציה קדומה $\displaystyle F$ של $\displaystyle f$:

• כותבים בקיצור $\displaystyle {\left[F(x)\right]_a^b}={F(b)-F(a)}$.
• בחישוב אפשר לבחור כל פונקציה קדומה: $\displaystyle C$ מתבטל בהפרש.

בשיעור הקודם הגרף של $\displaystyle {F_0(x)}={\int_0^x\left(4t-t^2\right)dt}$ ניתן בלי נוסחה. בדוגמה שלפניכם נמצא את הנוסחה, ואת הדרך שהמכונית עברה ב-4 השניות:

• פונקציה קדומה של $\displaystyle 4t-t^2$: $\displaystyle 2t^2-\frac{t^3}{3}$.
• $\displaystyle {F_0(x)}={\left[2t^2-\frac{t^3}{3}\right]_0^x}={2x^2-\frac{x^3}{3}-0}={2x^2-\frac{x^3}{3}}$.
• $\displaystyle {F_0(4)}={2\cdot16-\frac{64}{3}}={\frac{32}{3}}$: המכונית עברה $\displaystyle 10\frac{2}{3}$ מטרים.

חשבו את פונקציות ההצטברות.

חשבו את האינטגרלים המסוימים.

בלוח שלפניכם הגרף של $\displaystyle {f(x)}={2x}$.
$\displaystyle {F(x)}={\int_1^x f(t)\,dt}$.
כתבו בלוח את $\displaystyle F(x)$, וודאו שהגרף שלה עובר בנקודה $\displaystyle (1,0)$.

$\displaystyle {G(x)}={\int_2^x\sqrt{t^2+5}\,dt}$.
את $\displaystyle G(x)$ אי אפשר לכתוב בעזרת הפונקציות שלמדתם, אבל את הנגזרת שלה אפשר למצוא לפי המשפט היסודי.

מצאו את $\displaystyle G'(x)$.

חשבו את $\displaystyle G'(2)$ ואת $\displaystyle G(2)$.