דלג לתוכן

הגרפים של פונקציה, של הנגזרת שלה ושל פונקציית ההצטברות

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 9 מתוך 20לימוד

הגרפים של פונקציה, של הנגזרת שלה ושל פונקציית ההצטברות

שלושה גרפים

לפי המשפט היסודי, פונקציית ההצטברות F\displaystyle F היא פונקציה קדומה של f\displaystyle f, ולכן F′=f\displaystyle {F'}={f}, ו-F′′=f′\displaystyle {F''}={f'}. כך כל אחד משלושת הגרפים מספר על האחרים:

הגרף של f′\displaystyle f'הגרף של f\displaystyle fהגרף של F\displaystyle F
חיוביעולה
שלילייורד
מחליף סימןנקודת קיצון
חיוביעולהקעור כלפי מעלה
שלילייורדקעור כלפי מטה
מחליף סימןנקודת קיצוןנקודת פיתול
מהגרף של f\displaystyle f לגרף של F\displaystyle F

בדוגמה שלפניכם נקרא את הגרף של F(x)=∫0xf(t) dt\displaystyle {F(x)}={\int_0^x f(t)\,dt} מהגרף של f(x)=x2−2x−3=(x+1)(x−3)\displaystyle {f(x)}={x^2-2x-3}={(x+1)(x-3)}:

f(x)=x2−2x−3\displaystyle f(x)=x^{2}-2x-3
  • f>0\displaystyle f>0 כש-x<−1\displaystyle x<-1 או x>3\displaystyle x>3: שם F\displaystyle F עולה. f<0\displaystyle f<0 כש-−1<x<3\displaystyle -1<x<3: שם F\displaystyle F יורדת.
  • ב-x=−1\displaystyle {x}={-1} f\displaystyle f מחליפה סימן מ-+ ל-−: מקסימום של F\displaystyle F. ב-x=3\displaystyle {x}={3} מ-− ל-+: מינימום.
  • f\displaystyle f יורדת כש-x<1\displaystyle x<1 ועולה כש-x>1\displaystyle x>1: F\displaystyle F קעורה כלפי מטה ואחר כך כלפי מעלה, ונקודת הפיתול שלה ב-x=1\displaystyle {x}={1}, המינימום של f\displaystyle f.
  • F(0)=0\displaystyle {F(0)}={0}: הגרף של F\displaystyle F עובר בראשית.

את הגובה של הנקודות נותנת הנוסחה: F(x)=x33−x2−3x\displaystyle {F(x)}={\frac{x^3}{3}-x^2-3x}, ולכן F(−1)=53\displaystyle {F(-1)}={\frac{5}{3}} ו-F(3)=−9\displaystyle {F(3)}={-9}.

F(x)=x33−x2−3x\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x
גבול תחתון אחר

פונקציית ההצטברות של אותה f\displaystyle f מ-x=1\displaystyle {x}={1} היא G(x)=∫1xf(t) dt=F(x)−F(1)\displaystyle {G(x)}={\int_1^x f(t)\,dt}={F(x)-F(1)}:

  • F(1)=13−1−3=−113\displaystyle {F(1)}={\frac{1}{3}-1-3}={-\frac{11}{3}}, ולכן G(x)=x33−x2−3x+113\displaystyle {G(x)}={\frac{x^3}{3}-x^2-3x+\frac{11}{3}}.
  • הגרף של G\displaystyle G הוא הגרף של F\displaystyle F, מוזז 113\displaystyle \frac{11}{3} למעלה: הוא עובר ב-(1,0)\displaystyle (1,0) ולא בראשית.
  • הקיצון והפיתול באותם x\displaystyle x.
תרגיל 1

בלוח שלפניכם הגרף של f(x)=x3−3x\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}.
F(x)=∫0xf(t) dt=x44−3x22\displaystyle {F(x)}={\int_0^x f(t)\,dt}={\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}}.

א

סמנו בלוח את נקודות הקיצון של F\displaystyle F – בגובה שלהן, F(x)\displaystyle F(x).

f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^{3}-3x

ב

סמנו בלוח את נקודות הפיתול של F\displaystyle F.

f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^{3}-3x

תרגיל 2

בלוח שלפניכם הגרף של פונקציית ההצטברות F(x)=∫0xf(t) dt\displaystyle {F(x)}={\int_0^x f(t)\,dt}.
f\displaystyle f היא פונקציה ריבועית.
ל-F\displaystyle F יש מקסימום ב-(0,0)\displaystyle (0,0) ומינימום ב-(2,−4)\displaystyle (2,-4).

א

הסבירו למה f(x)=a⋅x(x−2)\displaystyle {f(x)}={a\cdot x(x-2)}, ו-a>0\displaystyle a>0.

ב

חשבו את F(2)\displaystyle F(2) כביטוי ב-a\displaystyle a, ומצאו את a\displaystyle a.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      כתבו את f\displaystyle f בלוח.

      F(x)= ?\displaystyle F(x)=\,?

      תרגיל 3

      בלוח שלפניכם הגרף של הנגזרת f′\displaystyle f' של פונקציה f\displaystyle f.

      y= ?\displaystyle y=\,?

      א

      סמנו את הנקודות על ציר ה-x\displaystyle x שבשיעורי ה-x\displaystyle x שלהן יש ל-f\displaystyle f נקודות קיצון.

      ב

      מה סוג כל נקודת קיצון של f\displaystyle f? באיזה x\displaystyle x יש ל-f\displaystyle f נקודת פיתול? הסבירו.