אינטגרל של פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית

לפי כלל השרשרת, $\displaystyle {\left(F(u(x))\right)'}={f(u(x))\cdot u'(x)}$. לכן כשבתוך האינטגרל יש פונקציה מורכבת כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית, הפונקציה הקדומה היא פונקציה מורכבת:

המקרה הנפוץ – חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה:

בדוגמאות שלפניכם נמצא בכל אינטגרל את הפונקציה הפנימית $\displaystyle u$, ונראה שהנגזרת שלה כבר כופלת:

• $\displaystyle \int2x\left(x^2+1\right)^3\,dx$: $\displaystyle {u}={x^2+1}$, $\displaystyle {u'}={2x}$. התוצאה: $\displaystyle \frac{\left(x^2+1\right)^4}{4}+C$.
• $\displaystyle \int\frac{2x+1}{\left(x^2+x\right)^2}\,dx$: $\displaystyle {u}={x^2+x}$, $\displaystyle {u'}={2x+1}$, ו-$\displaystyle \frac{1}{u^2}$ נותן $\displaystyle -\frac{1}{u}$. התוצאה: $\displaystyle -\frac{1}{x^2+x}+C$.
• בדיקה לראשון: $\displaystyle {\left(\frac{\left(x^2+1\right)^4}{4}\right)'}={\frac{4\left(x^2+1\right)^3\cdot2x}{4}}={2x\left(x^2+1\right)^3}$.

כשהנגזרת הפנימית מופיעה עד כדי מספר, משלימים את המספר: כופלים בו בתוך האינטגרל ומחלקים בו מחוץ לו. בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle \int x^2\left(x^3+2\right)^4\,dx$:

• $\displaystyle {u}={x^3+2}$, $\displaystyle {u'}={3x^2}$, אבל בתוך האינטגרל יש $\displaystyle x^2$ – חסר 3.
• $\displaystyle {\int x^2\left(x^3+2\right)^4\,dx}={\frac{1}{3}\int3x^2\left(x^3+2\right)^4\,dx}={\frac{1}{3}\cdot\frac{\left(x^3+2\right)^5}{5}+C}={\frac{\left(x^3+2\right)^5}{15}+C}$.
• באותה דרך, $\displaystyle {\int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx}={\frac{1}{2}\int\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx}={\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{x^2+1}+C}={\sqrt{x^2+1}+C}$.
• חסר מספר – משלימים. חסר $\displaystyle x$ – הכלל לא עובד: $\displaystyle \int\left(x^3+2\right)^4\,dx$ פותחים בסוגריים.

בדוגמה שלפניכם נחשב את $\displaystyle \int_0^1x\sqrt{1-x^2}\,dx$:

• $\displaystyle {u}={1-x^2}$, $\displaystyle {u'}={-2x}$: $\displaystyle {\int x\sqrt{1-x^2}\,dx}={-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left(1-x^2\right)\sqrt{1-x^2}+C}={-\frac{1}{3}\left(1-x^2\right)\sqrt{1-x^2}+C}$.
• $\displaystyle {\left[-\frac{1}{3}\left(1-x^2\right)\sqrt{1-x^2}\right]_0^1}={0-\left(-\frac{1}{3}\right)}={\frac{1}{3}}$.

מצאו את האינטגרלים.

חשבו את האינטגרלים.

לכל אינטגרל, כתבו אם הנגזרת הפנימית מופיעה בו, מופיעה עד כדי מספר, או חסרה:
$\displaystyle \int x\left(x^2-5\right)^3\,dx$, $\displaystyle \int\left(x^2-5\right)^3\,dx$, $\displaystyle \int\frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}}\,dx$, $\displaystyle \int\frac{x}{\sqrt{x^3+1}}\,dx$.