אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פונקציה פנימית לינארית

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 10 מתוך 20לימוד

אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פונקציה פנימית לינארית

הכלל

בכיתה י’ למדתם את כלל השרשרת: $\displaystyle {\left(F(mx+b)\right)'}={F'(mx+b)\cdot m}={m\cdot f(mx+b)}$ . הנגזרת הפנימית $\displaystyle m$ היא מספר, ולכן כדי לקבל $\displaystyle f(mx+b)$ בלי ה- $\displaystyle m$ מחלקים ב- $\displaystyle m$ :

\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C

\displaystyle m\neq0

$\displaystyle F$ היא פונקציה קדומה של $\displaystyle f$ .
כלומר: מוצאים את האינטגרל כאילו $\displaystyle mx+b$ היה $\displaystyle x$ , ומחלקים במקדם של $\displaystyle x$ .

חזקה, שורש ושבר

בדוגמאות שלפניכם הפונקציה הפנימית לינארית, ונמצא את האינטגרל לפי הכלל:

$\displaystyle \int(3x-1)^4\,dx$ : האינטגרל של $\displaystyle u^4$ הוא $\displaystyle \frac{u^5}{5}$ , ו- $\displaystyle {m}={3}$ :

\int(3x-1)^4\,dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{(3x-1)^5}{5}+C=\frac{(3x-1)^5}{15}+C

$\displaystyle \int\sqrt{2x+1}\,dx$ : האינטגרל של $\displaystyle \sqrt{u}$ הוא $\displaystyle \frac{2}{3}u\sqrt{u}$ , ו- $\displaystyle {m}={2}$ :

\int\sqrt{2x+1}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}(2x+1)\sqrt{2x+1}+C=\frac{(2x+1)\sqrt{2x+1}}{3}+C

$\displaystyle \int\frac{1}{(5-x)^2}\,dx$ : האינטגרל של $\displaystyle \frac{1}{u^2}$ הוא $\displaystyle -\frac{1}{u}$ , ו- $\displaystyle {m}={-1}$ :

\int\frac{1}{(5-x)^2}\,dx=\frac{1}{-1}\cdot\left(-\frac{1}{5-x}\right)+C=\frac{1}{5-x}+C

בדיקה, למשל לראשון: $\displaystyle {\left(\frac{(3x-1)^5}{15}\right)'}={\frac{5(3x-1)^4\cdot3}{15}}={(3x-1)^4}$ .

אינטגרל מסוים

בדוגמה שלפניכם נחשב את $\displaystyle \int_0^1(2x+1)^3\,dx$ באותו כלל, ונציב את הגבולות בפונקציה הקדומה:

\int_0^1(2x+1)^3\,dx=\left[\frac{(2x+1)^4}{8}\right]_0^1=\frac{81}{8}-\frac{1}{8}=10

פונקציה פנימית שאינה לינארית

הכלל נכון רק כשהפונקציה הפנימית לינארית. ב- $\displaystyle \int(x^2+1)^2\,dx$ “הכלל” נותן $\displaystyle \frac{(x^2+1)^3}{3\cdot2x}$ , אבל הנגזרת של הביטוי הזה אינה $\displaystyle (x^2+1)^2$ : $\displaystyle 2x$ אינו מספר, ואי אפשר להוציא אותו מהגזירה. כאן פותחים סוגריים:

\int(x^2+1)^2\,dx=\int\left(x^4+2x^2+1\right)dx=\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x+C

תרגיל 1

מצאו את האינטגרלים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

חשבו את האינטגרלים.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{\sqrt{x+4}}}$ .
$\displaystyle {F(x)}={\int_0^x f(t)\,dt}$ .

כתבו את $\displaystyle F(x)$ בלי אינטגרל.

מצאו את $\displaystyle x$ שבשבילו $\displaystyle {F(x)}={2}$ .

נוסחאות: חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אינטגרלים מיידיים

האינטגרל הלא מסוים – כל הפונקציות הקדומות
$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$
חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
קבוע
$\displaystyle \int k\,dx=kx+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C$
אחד חלקי שורש
$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$
שורש
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

כללי האינטגרציה

כפל בקבוע
$\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\int f(x)\,dx$
סכום והפרש
$\displaystyle \int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
פונקציה פנימית לינארית
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה
$\displaystyle \int\left(u(x)\right)^{n}\cdot u^{\prime}(x)\,dx=\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$

פונקציות טריגונומטריות (ברדיאנים)

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$
$\displaystyle \sin^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$
$\displaystyle \cos^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}$
$\displaystyle \sin x\cos x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$
מ- $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$
$\displaystyle \tan^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1$

פונקציית ההצטברות והאינטגרל המסוים

פונקציית ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle a$
$\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
המשפט היסודי
$\displaystyle F_{a}^{\prime}(x)=f(x)$
האינטגרל המסוים, $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
אותו גבול
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
החלפת הגבולות
$\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
חיבור תחומים
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\geq0$
שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\leq0$
שטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
ההעתק לפי המהירות
$\displaystyle s(b)-s(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$