אינטגרלים של חזקות שליליות ושל שורשים

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 2 מתוך 20לימוד

אינטגרלים של חזקות שליליות ושל שורשים

חזקה שלילית

הכלל $\displaystyle {\int x^n\,dx}={\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}$ נכון לכל $\displaystyle n\neq-1$ , גם שלילי. כדי להשתמש בו כותבים שבר עם $\displaystyle x$ במכנה כחזקה שלילית: $\displaystyle {\frac{1}{x^n}}={x^{-n}}$ . בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle \int\frac{1}{x^2}\,dx$ :

\int\frac{1}{x^2}\,dx=\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x}+C

בדיקה: $\displaystyle {\left(-\frac{1}{x}\right)'}={\frac{1}{x^2}}$ .
הפונקציה מוגדרת רק כש- $\displaystyle x\neq0$ .
$\displaystyle {n}={-1}$ , כלומר $\displaystyle \frac{1}{x}$ , יוצא מן הכלל: המכנה $\displaystyle n+1$ היה 0. את האינטגרל שלו תלמדו בכיתה י"ב.

\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C

שורש

בכיתה י’ למדתם ש- $\displaystyle {\sqrt{x}}={x^{\frac{1}{2}}}$ . אותו כלל של חזקה נותן את האינטגרלים של שורשים:

\int\sqrt{x}\,dx=\int x^{\frac{1}{2}}\,dx=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C

\int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\int x^{-\frac{1}{2}}\,dx=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=2\sqrt{x}+C

$\displaystyle {x^{\frac{3}{2}}}={x\cdot x^{\frac{1}{2}}}={x\sqrt{x}}$ .
בדיקה: $\displaystyle {\left(2\sqrt{x}\right)'}={2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}={\frac{1}{\sqrt{x}}}$ .

\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C

\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C

שבר: מפרקים לסכום

כשהמכנה של שבר הוא איבר אחד, מחלקים בו כל איבר של המונה ומקבלים סכום של חזקות. בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle \int\frac{x^3-2}{x^2}\,dx$ :

$\displaystyle {\frac{x^3-2}{x^2}}={\frac{x^3}{x^2}-\frac{2}{x^2}}={x-2x^{-2}}$ .
$\displaystyle {\int\left(x-2x^{-2}\right)dx}={\frac{x^2}{2}-2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}+C}={\frac{x^2}{2}+\frac{2}{x}+C}$ .

באותה דרך, $\displaystyle {\frac{x+1}{\sqrt{x}}}={\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}}={\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}$ , ולכן:

\int\frac{x+1}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C

תרגיל 1

מצאו את האינטגרלים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

$\displaystyle {\sqrt[3]{x}}={x^{\frac{1}{3}}}$ .

תרגיל 2

פרקו כל שבר לסכום, ומצאו את האינטגרל.

תרגיל 3

הנגזרת של פונקציה $\displaystyle f$ היא $\displaystyle {f'(x)}={\frac{1}{\sqrt{x}}}$ , ו- $\displaystyle x>0$ .
הגרף של $\displaystyle f$ עובר בנקודה $\displaystyle A(4,3)$ .

מצאו את $\displaystyle C$ .

כתבו את $\displaystyle f$ בלוח.

\displaystyle A=(4,3)

נוסחאות: חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אינטגרלים מיידיים

האינטגרל הלא מסוים – כל הפונקציות הקדומות
$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$
חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
קבוע
$\displaystyle \int k\,dx=kx+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C$
אחד חלקי שורש
$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$
שורש
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

כללי האינטגרציה

כפל בקבוע
$\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\int f(x)\,dx$
סכום והפרש
$\displaystyle \int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
פונקציה פנימית לינארית
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה
$\displaystyle \int\left(u(x)\right)^{n}\cdot u^{\prime}(x)\,dx=\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$

פונקציות טריגונומטריות (ברדיאנים)

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$
$\displaystyle \sin^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$
$\displaystyle \cos^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}$
$\displaystyle \sin x\cos x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$
מ- $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$
$\displaystyle \tan^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1$

פונקציית ההצטברות והאינטגרל המסוים

פונקציית ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle a$
$\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
המשפט היסודי
$\displaystyle F_{a}^{\prime}(x)=f(x)$
האינטגרל המסוים, $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
אותו גבול
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
החלפת הגבולות
$\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
חיבור תחומים
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\geq0$
שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\leq0$
שטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
ההעתק לפי המהירות
$\displaystyle s(b)-s(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$