תרגול: פונקציה לפי נגזרת, שטחים והצטברות

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 19 מתוך 20תרגול

תרגול: פונקציה לפי נגזרת, שטחים והצטברות

$\displaystyle {f'(x)}={3x^2-\frac{2}{x^2}}$ , ו- $\displaystyle x\neq0$ .
הגרף של $\displaystyle f$ עובר בנקודה $\displaystyle (1,4)$ .
מצאו את $\displaystyle f(x)$ , וכתבו אותו בלוח.

\displaystyle A=(1,4)

$\displaystyle {f''(x)}={-\sin x}$ .
$\displaystyle {f'(0)}={2}$ , והגרף של $\displaystyle f$ עובר בראשית.
מצאו את $\displaystyle f(x)$ .

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2(x-3)}$ .

סמנו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $\displaystyle x$ .

\displaystyle f(x)=x^{2}(x-3)

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר ה- $\displaystyle x$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={4-x^2}$ ושל $\displaystyle {g(x)}={x^2-2x}$ .

\displaystyle f(x)=4-x^{2}

\displaystyle g(x)=x^{2}-2x

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={2\sin x}$ , בתחום $\displaystyle 0\le x\le\pi$ .
חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של $\displaystyle f$ לישר $\displaystyle {y}={1}$ .

\displaystyle f(x)=2\sin x

\displaystyle g(x)=1

חלקיק נע על ישר במהירות $\displaystyle {v(t)}={3t^2-12t+9}$ מטרים לשנייה, $\displaystyle 0\le t\le4$ .

מתי החלקיק משנה כיוון?

מה ההעתק אחרי 4 שניות, ומה הדרך שעבר?

השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {y}={\frac{1}{\sqrt{x}}}$ , ציר ה- $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={1}$ ו- $\displaystyle {x}={a}$ ( $\displaystyle a>1$ ) הוא 4.
מצאו את $\displaystyle a$ .

נוסחאות: חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אינטגרלים מיידיים

האינטגרל הלא מסוים – כל הפונקציות הקדומות
$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$
חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
קבוע
$\displaystyle \int k\,dx=kx+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C$
אחד חלקי שורש
$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$
שורש
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

כללי האינטגרציה

כפל בקבוע
$\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\int f(x)\,dx$
סכום והפרש
$\displaystyle \int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
פונקציה פנימית לינארית
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה
$\displaystyle \int\left(u(x)\right)^{n}\cdot u^{\prime}(x)\,dx=\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$

פונקציות טריגונומטריות (ברדיאנים)

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$
$\displaystyle \sin^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$
$\displaystyle \cos^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}$
$\displaystyle \sin x\cos x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$
מ- $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$
$\displaystyle \tan^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1$

פונקציית ההצטברות והאינטגרל המסוים

פונקציית ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle a$
$\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
המשפט היסודי
$\displaystyle F_{a}^{\prime}(x)=f(x)$
האינטגרל המסוים, $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
אותו גבול
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
החלפת הגבולות
$\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
חיבור תחומים
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\geq0$
שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\leq0$
שטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
ההעתק לפי המהירות
$\displaystyle s(b)-s(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$