דלג לתוכן

חזרה: חשבון אינטגרלי

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 20 מתוך 20תרגול

חזרה: חשבון אינטגרלי

מה למדתם בקורס
  • פונקציה קדומה: ∫f(x) dx=F(x)+C\displaystyle {\int f(x)\,dx}={F(x)+C}, כש-F′=f\displaystyle {F'}={f}; חזקות (n≠−1\displaystyle n\neq-1), שורשים, sin⁡\displaystyle \sin, cos⁡\displaystyle \cos, 1cos⁡2x\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}.
  • כללים: כפל בקבוע וסכום; ∫f(mx+b) dx=1mF(mx+b)+C\displaystyle {\int f(mx+b)\,dx}={\frac{1}{m}F(mx+b)+C}; ∫f(u(x))u′(x) dx=F(u(x))+C\displaystyle {\int f(u(x))u'(x)\,dx}={F(u(x))+C}; זהויות לפני אינטגרל.
  • הצטברות: הגודל המצטבר הוא השטח שמתחת לגרף הקצב, בחישוב הסימן; Fa(x)=∫axf(t) dt\displaystyle {F_a(x)}={\int_a^xf(t)\,dt}.
  • המשפט היסודי: Fa′(x)=f(x)\displaystyle {F_a'(x)}={f(x)}, ולכן ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle {\int_a^bf(x)\,dx}={F(b)-F(a)}.
  • גרפים: f\displaystyle f חיובית – F\displaystyle F עולה; f\displaystyle f מחליפה סימן – קיצון של F\displaystyle F; קיצון של f\displaystyle f – פיתול של F\displaystyle F.
  • יישומים: פונקציה לפי נגזרת ונקודה; שטח – מחלקים בנקודות האפס ובנקודות החיתוך, העליון פחות התחתון; העתק ודרך; פרמטר וקיצון.
1

נתונה הפונקציה f(x)=x−sin⁡2x2\displaystyle {f(x)}={x-\frac{\sin2x}{2}}.

א

הראו ש-f′(x)=2sin⁡2x\displaystyle {f'(x)}={2\sin^2x}.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    האם יש ל-f\displaystyle f נקודות קיצון? הסבירו.

    ג

    נתונה הפונקציה g(x)=x+sin⁡2x\displaystyle {g(x)}={x+\sin^2x}, בתחום −π≤x≤π\displaystyle -\pi\le x\le\pi.
    חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של g\displaystyle g והישר y=x\displaystyle {y}={x}.

    g(x)=x+sin⁡2x\displaystyle g(x)=x+\sin^{2}x
    y=x\displaystyle y=x

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      2

      בלוח שלפניכם הגרף של f(x)=x(x−2)2\displaystyle {f(x)}={x(x-2)^2}.
      F(x)=∫0xf(t) dt\displaystyle {F(x)}={\int_0^xf(t)\,dt}.

      א

      באיזה תחום F\displaystyle F עולה, ובאיזה יורדת? הסבירו לפי הגרף של f\displaystyle f.

      f(x)=x(x−2)2\displaystyle f(x)=x(x-2)^{2}
      ב

      כתבו את F(x)\displaystyle F(x) בלי אינטגרל.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ג

        סמנו בלוח את נקודות הקיצון של F\displaystyle F.

        f(x)=x(x−2)2\displaystyle f(x)=x(x-2)^{2}

        ד

        סמנו בלוח את נקודות הפיתול של F\displaystyle F.

        f(x)=x(x−2)2\displaystyle f(x)=x(x-2)^{2}

        3

        f′(x)=(2x−1)2\displaystyle {f'(x)}={(2x-1)^2}.
        הישר y=x+1\displaystyle {y}={x+1} משיק לגרף של f\displaystyle f בנקודה שבה x=1\displaystyle {x}={1}.

        א

        מצאו את כל הפונקציות הקדומות של f′\displaystyle f'.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          מצאו את f(x)\displaystyle f(x), וכתבו אותו בלוח.

          y=x+1\displaystyle y=x+1

          4

          נתונה הפונקציה f(x)=x\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}.
          הישר y=x4+1\displaystyle {y}={\frac{x}{4}+1} משיק לגרף של f\displaystyle f בנקודה (4,2)\displaystyle (4,2).

          א

          חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f\displaystyle f, המשיק וציר ה-y\displaystyle y.

          f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}
          g(x)=x4+1\displaystyle g(x)=\frac{x}{4}+1

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה