דלג לתוכן

אינטגרלים בעזרת זהויות טריגונומטריות

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 13 מתוך 20לימוד

אינטגרלים בעזרת זהויות טריגונומטריות

זהות לפני אינטגרל

ל-sin⁡2x\displaystyle \sin^2x, cos⁡2x\displaystyle \cos^2x ו-tan⁡2x\displaystyle \tan^2x אין אינטגרל מיידי, ואין בהם נגזרת פנימית. זהות טריגונומטרית הופכת אותם לסכום של פונקציות שיש להן אינטגרל. הזהויות של הזווית הכפולה בדף הנוסחאות של הבגרות: cos⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}={1-2\sin^2x} ו-sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}. מהן:

sin⁡2x\displaystyle \sin^{2}x =\displaystyle = 1−cos⁡2x2\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}
cos⁡2x\displaystyle \cos^{2}x =\displaystyle = 1+cos⁡2x2\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}
sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin x\cos x =\displaystyle = 12sin⁡2x\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x
tan⁡2x\displaystyle \tan^{2}x =\displaystyle = 1cos⁡2x−1\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1
  • את האחרונה מקבלים מחלוקת sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1} ב-cos⁡2x\displaystyle \cos^2x.
שלוש דוגמאות

בדוגמאות שלפניכם נחליף כל ביטוי לפי זהות, ואז נמצא את האינטגרל:

  • ∫sin⁡2x dx=∫(12−12cos⁡2x)dx=x2−sin⁡2x4+C\displaystyle {\int\sin^2x\,dx}={\int\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos2x\right)dx}={\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C}.
  • ∫tan⁡2x dx=∫(1cos⁡2x−1)dx=tan⁡x−x+C\displaystyle {\int\tan^2x\,dx}={\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx}={\tan x-x+C}.
  • ∫(sin⁡x+cos⁡x)2dx=∫(sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)dx=∫(1+sin⁡2x)dx=x−cos⁡2x2+C\displaystyle {\int\left(\sin x+\cos x\right)^2dx}={\int\left(\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x\right)dx}={\int\left(1+\sin2x\right)dx}={x-\frac{\cos2x}{2}+C}.
הממוצע של sin⁡2x\displaystyle \sin^2x

בדוגמה שלפניכם נחשב את ∫0πsin⁡2x dx\displaystyle \int_0^\pi\sin^2x\,dx:

∫0πsin⁡2x dx=[x2−sin⁡2x4]0π=π2−0=π2\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_0^\pi=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}
  • sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}, ולכן ∫0π(sin⁡2x+cos⁡2x)dx=π\displaystyle {\int_0^\pi\left(\sin^2x+\cos^2x\right)dx}={\pi}.
  • על פני חצי מחזור, sin⁡2x\displaystyle \sin^2x ו-cos⁡2x\displaystyle \cos^2x מצטברים לאותו שטח: הגרף של אחת הוא הגרף של השנייה מוזז ב-π2\displaystyle \frac{\pi}{2}. לכן כל אחד מהם π2\displaystyle \frac{\pi}{2}.
f(x)=sin⁡2x\displaystyle f(x)=\sin^{2}x
g(x)=cos⁡2x\displaystyle g(x)=\cos^{2}x
תרגיל 1

מצאו את האינטגרלים בעזרת זהות.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          חשבו את האינטגרלים.

          א

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 3

                דני חישב את ∫02π((2+sin⁡x)2−(2−sin⁡x)2)dx\displaystyle \int_0^{2\pi}\left(\left(2+\sin x\right)^2-\left(2-\sin x\right)^2\right)dx, וקיבל 0.
                פשטו את הביטוי שבתוך האינטגרל, והסבירו למה התוצאה 0.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה