אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות

חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 12 מתוך 20לימוד

אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות

שלושה אינטגרלים מיידיים

בקורס החשבון הדיפרנציאלי למדתם, ברדיאנים: $\displaystyle {(\sin x)'}={\cos x}$ , $\displaystyle {(\cos x)'}={-\sin x}$ , $\displaystyle {(\tan x)'}={\frac{1}{\cos^2x}}$ . כל נגזרת כזאת, קוראים אותה הפוך, נותנת אינטגרל:

\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C

\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C

\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C

שימו לב לסימן: $\displaystyle {\int\sin x\,dx}={-\cos x}$ , כי $\displaystyle {(-\cos x)'}={\sin x}$ .
הנוסחאות נכונות רק כשהזווית ברדיאנים: במעלות הנגזרות מוכפלות ב- $\displaystyle \frac{\pi}{180}$ .

ארגומנט לינארי

הכלל $\displaystyle {\int f(mx+b)\,dx}={\frac{1}{m}F(mx+b)+C}$ מתאים גם לפונקציות טריגונומטריות. בדוגמאות שלפניכם:

$\displaystyle {\int\cos3x\,dx}={\frac{1}{3}\sin3x+C}$ .
$\displaystyle {\int\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)dx}={-\frac{1}{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+C}$ .
$\displaystyle {\int\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\,dx}={2\tan\frac{x}{2}+C}$ : כאן $\displaystyle {m}={\frac{1}{2}}$ , וחלוקה ב- $\displaystyle \frac{1}{2}$ היא כפל ב-2.

נגזרת פנימית

גם הכלל $\displaystyle {\int\left(u(x)\right)^n u'(x)\,dx}={\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C}$ עובד כאן. הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ היא $\displaystyle \cos x$ , ולכן:

$\displaystyle {\int\sin^3x\cos x\,dx}={\frac{\sin^4x}{4}+C}$ ( $\displaystyle {u}={\sin x}$ ).
$\displaystyle {\int\frac{\sin x}{\cos^2x}\,dx}={-\int(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)\,dx}={-\frac{(\cos x)^{-1}}{-1}+C}={\frac{1}{\cos x}+C}$ ( $\displaystyle {u}={\cos x}$ ).

השטח של קשת אחת

בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח שבין קשת אחת של $\displaystyle {y}={\sin x}$ לציר ה- $\displaystyle x$ , בין $\displaystyle {x}={0}$ ל- $\displaystyle {x}={\pi}$ :

\int_0^\pi\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_0^\pi=-\cos\pi-(-\cos0)=1+1=2

\displaystyle f(x)=\sin x

על פני מחזור שלם, מ-0 עד $\displaystyle 2\pi$ , הקשת התחתונה שווה לעליונה, והאינטגרל 0: $\displaystyle {\left[-\cos x\right]_0^{2\pi}}={-1+1}={0}$ .
לכן כדי לחשב שטח של כמה קשתות מחשבים כל קשת לחוד, או מכפילים את השטח של אחת.

תרגיל 1

מצאו את האינטגרלים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

חשבו את האינטגרלים.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sin4x}$ .

סמנו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $\displaystyle x$ .

\displaystyle f(x)=\sin4x

חשבו את השטח הצבוע, בין הגרף לציר ה- $\displaystyle x$ בקשת הראשונה מימין לראשית.

מה השטח בין הגרף לציר ה- $\displaystyle x$ בתחום $\displaystyle 0\le x\le\pi$ ? הסבירו בלי לחשב אינטגרל נוסף.

נוסחאות: חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אינטגרלים מיידיים

האינטגרל הלא מסוים – כל הפונקציות הקדומות
$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$
חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
קבוע
$\displaystyle \int k\,dx=kx+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C$
אחד חלקי שורש
$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$
שורש
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

כללי האינטגרציה

כפל בקבוע
$\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\int f(x)\,dx$
סכום והפרש
$\displaystyle \int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
פונקציה פנימית לינארית
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה
$\displaystyle \int\left(u(x)\right)^{n}\cdot u^{\prime}(x)\,dx=\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$

פונקציות טריגונומטריות (ברדיאנים)

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$
$\displaystyle \sin^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$
$\displaystyle \cos^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}$
$\displaystyle \sin x\cos x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$
מ- $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$
$\displaystyle \tan^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1$

פונקציית ההצטברות והאינטגרל המסוים

פונקציית ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle a$
$\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
המשפט היסודי
$\displaystyle F_{a}^{\prime}(x)=f(x)$
האינטגרל המסוים, $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
אותו גבול
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
החלפת הגבולות
$\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
חיבור תחומים
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\geq0$
שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\leq0$
שטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
ההעתק לפי המהירות
$\displaystyle s(b)-s(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$