הסתברות, כיתה י"א (5 יח"ל)

איך מחשבים הסתברות כשיש כמה שלבים, כשמשהו כבר ידוע, וכשחוזרים על אותו ניסוי הרבה פעמים.נושאים

הקורס ממשיך את ההסתברות של חטיבת הביניים: תוצאות שוות הסתברות, שכיחות יחסית, טבלת תוצאות ודיאגרמת עץ. הנושאים, לפי הסדר:

מאורעות וכללי ההסתברות: מרחב המדגם, מאורע פשוט ומאורע מורכב, איחוד, חיתוך ומאורע משלים בדיאגרמת ון, הסתברות כיחס שטחים וכשכיחות יחסית, כללי ההסתברות;
הסתברות מותנית: טבלה דו־ממדית של $\displaystyle 2\times2$ ושל $\displaystyle 3\times2$ , ההסתברות המותנית $\displaystyle P(A/B)$ , מאורעות תלויים ובלתי תלויים;
ניסויים רב־שלביים: עץ הסתברויות, ענפים שתלויים במסלול, בחירה בלי החזרה, נוסחת ההסתברות השלמה והשאלה ההפוכה – מה קרה בשלב הראשון;
נוסחת ברנולי: עקרון הכפל, עצרת ומקדמים בינומיים, ההסתברות ל- $\displaystyle k$ הצלחות ב- $\displaystyle n$ ניסויים, “לפחות” ו"לכל היותר".

יש שני סוגים של שיעורים:

איך עובדים בדף: שימוש בדף.

עודכן לאחרונה ב 18.10.2026

נוסחאות: הסתברות, כיתה י"א (5 יח"ל)

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
מאורע שמוכל במאורע אחר
$\displaystyle P(A)\le P(B)$ $\displaystyle A\subseteq B$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
מאורעות זרים – לאף שניים מהם אין תוצאה משותפת
$\displaystyle P(A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\dots+P(A_n)$

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A/B)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A/B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$
נוסחת ההסתברות השלמה – סכום המסלולים שמסתיימים ב- $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A/B)+P(\overline{B})\cdot P(A/\overline{B})$

$\displaystyle n$ עצרת; $\displaystyle {0!}={1}$
$\displaystyle n!=1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n$
בחירה סדורה – $\displaystyle k$ עצמים שונים מתוך $\displaystyle n$ , בזה אחר זה
$\displaystyle n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$
המקדם הבינומי – מספר הדרכים לבחור $\displaystyle k$ עצמים מתוך $\displaystyle n$ , בלי חשיבות לסדר
$\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
נוסחת ברנולי – ההסתברות ל- $\displaystyle k$ הצלחות ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים, כשההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא $\displaystyle p$
$\displaystyle P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
לפחות הצלחה אחת ב- $\displaystyle n$ ניסויים – בעזרת המאורע המשלים
$\displaystyle 1-P_n(0)=1-(1-p)^n$