נוסחת ברנולי

בניסויים רבים חוזרים על אותו ניסוי כמה פעמים, ובכל פעם מעניינות רק שתי תוצאות: הצלחה או כישלון. ההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא $\displaystyle p$, וההסתברות לכישלון היא $\displaystyle 1-p$.

• זריקה לסל: הצלחה – השחקנית קלעה.
• הטלת קובייה: הצלחה – יצא 6, $\displaystyle {p}={\frac{1}{6}}$.
• בדיקה של מוצר: הצלחה – המוצר פגום. “הצלחה” היא רק שם לתוצאה שסופרים.

נועה קולעת לסל מקו העונשין בהסתברות $\displaystyle 0.7$, בלי קשר לזריקות האחרות.
נועה זורקת 3 זריקות.
מה ההסתברות שתקלע בדיוק 2 מהן?

בעץ שלפניכם כל שלב הוא זריקה. הזריקות בלתי תלויות, ולכן על כל ענף “קלעה” רשום $\displaystyle 0.7$ ועל כל ענף “החטיאה” – $\displaystyle 0.3$, בכל שלב. המסלולים של “בדיוק 2 קליעות” מסומנים:

• בכל אחד משלושת המסלולים המסומנים שתי קליעות והחטאה אחת, ולכן לכולם אותה הסתברות, בכל סדר: $\displaystyle {0.7\cdot0.7\cdot0.3}={0.147}$.
• מספר המסלולים האלה הוא מספר הדרכים לבחור את שתי הזריקות שבהן קלעה מתוך 3: $\displaystyle {\binom{3}{2}}={3}$.

ההסתברות שתקלע בדיוק פעמיים היא הסכום של שלושת המסלולים:

כך מחשבים בכל מספר של ניסויים, בלי לצייר את העץ. ב-$\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים, שבכל אחד מהם ההסתברות להצלחה היא $\displaystyle p$:

• כל מסלול עם בדיוק $\displaystyle k$ הצלחות עובר ב-$\displaystyle k$ ענפים של הצלחה וב-$\displaystyle n-k$ ענפים של כישלון, ולכן ההסתברות שלו היא $\displaystyle p^k(1-p)^{n-k}$;
• יש $\displaystyle \binom{n}{k}$ מסלולים כאלה – כמספר הדרכים לבחור את $\displaystyle k$ הניסויים המוצלחים.

ההסתברות שיהיו בדיוק $\displaystyle k$ הצלחות היא הסכום של כל המסלולים האלה – נוסחת ברנולי:

אצל נועה: $\displaystyle {n}={3}$, $\displaystyle {k}={2}$, $\displaystyle {p}={0.7}$, ו-$\displaystyle {P_3(2)}={0.441}$.

נוסחת ברנולי מתאימה כשמתקיימים ארבעה תנאים:

• מספר הניסויים $\displaystyle n$ ידוע מראש;
• בכל ניסוי שתי תוצאות: הצלחה או כישלון;
• ההסתברות להצלחה $\displaystyle p$ זהה בכל הניסויים;
• הניסויים בלתי תלויים: התוצאה של ניסוי לא משנה את ההסתברויות בניסויים האחרים.

בשקית 3 כדורים אדומים ו-2 כחולים, ומוציאים כדור 3 פעמים. הצלחה – כדור אדום.

• עם החזרה: בכל הוצאה $\displaystyle {p}={\frac{3}{5}}$, והוצאות בלתי תלויות – אפשר להשתמש בנוסחה.
• בלי החזרה: אם הכדור הראשון אדום, בשקית נשארים 2 אדומים מתוך 4, וההסתברות לאדום בהוצאה השנייה היא $\displaystyle \frac{2}{4}$ ולא $\displaystyle \frac{3}{5}$. ההסתברות משתנה, והנוסחה לא מתאימה – מחשבים בעץ.

בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle n$, את $\displaystyle p$ ואת $\displaystyle k$, ונציב בנוסחת ברנולי.

במבחן 10 שאלות, ולכל שאלה 4 תשובות, שרק אחת מהן נכונה.
יואב לא למד, ובוחר תשובה באקראי בכל שאלה.
מה ההסתברות שיענה נכון על בדיוק 3 שאלות?

• ניסוי – שאלה; הצלחה – תשובה נכונה, $\displaystyle {p}={\frac{1}{4}}$.
• השאלות בלתי תלויות, $\displaystyle {n}={10}$, $\displaystyle {k}={3}$.

בערך ברבע מהפעמים שבהן מנחשים מבחן כזה, מקבלים בדיוק 3 תשובות נכונות.

מטילים קובייה מאוזנת 3 פעמים.
הצלחה – יצא 6.

השלימו את ההסתברויות בעץ, סמנו את המסלולים שבהם יצא 6 בדיוק פעם אחת, וחשבו את ההסתברות לכך.

30% מהתושבים של עיר רוכבים על אופניים לעבודה.
בוחרים באקראי 5 תושבים, בלי קשר זה לזה.

מה ההסתברות שבדיוק 2 מהם רוכבים על אופניים לעבודה?

מטילים מטבע מאוזן 8 פעמים.

מה ההסתברות לקבל עץ בדיוק 5 פעמים? כתבו שבר מצומצם.

15% מהמנורות שמפעל מייצר פגומות.
בוחרים באקראי 12 מנורות.

מה ההסתברות שבדיוק 2 מהן פגומות? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

באילו מהמצבים האלה אפשר לחשב בנוסחת ברנולי? הסבירו בכל מצב.

1. בכיתה 10 בנות ו-10 בנים. בוחרים 4 תלמידים שונים, וסופרים כמה בנות נבחרו.
2. מטילים קובייה 10 פעמים, וסופרים כמה פעמים יצא מספר זוגי.
3. זורקים לסל עד שקולעים בפעם הראשונה, וסופרים את הזריקות.