דלג לתוכן

בעיות בנוסחת ברנולי

הסתברות, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 14 מתוך 16לימוד

בעיות בנוסחת ברנולי

לפחות, לכל היותר

“לפחות k\displaystyle k הצלחות” ו"לכל היותר k\displaystyle k הצלחות" הם מאורעות של כמה מספרים של הצלחות. המאורעות “בדיוק 0”, “בדיוק 1”, … זרים זה לזה, ולכן ההסתברות היא סכום של כמה איברים בנוסחת ברנולי:

  • לפחות k\displaystyle k – מ-k\displaystyle k הצלחות עד n\displaystyle n;
  • לכל היותר k\displaystyle k – מ-0 הצלחות עד k\displaystyle k.

תרופה עוזרת ל-80% מהחולים שמקבלים אותה.
5 חולים מקבלים את התרופה, בלי קשר זה לזה.

  • התרופה עוזרת ללפחות 4 מהם – ל-4 או ל-5: P5(4)+P5(5)=(54)⋅0.84⋅0.2+0.85=0.4096+0.32768=0.73728P_5(4)+P_5(5)=\binom{5}{4}\cdot0.8^4\cdot0.2+0.8^5=0.4096+0.32768=0.73728
  • התרופה עוזרת ללכל היותר אחד מהם – ל-0 או ל-1: P5(0)+P5(1)=0.25+(51)⋅0.8⋅0.24=0.00032+0.0064=0.00672P_5(0)+P_5(1)=0.2^5+\binom{5}{1}\cdot0.8\cdot0.2^4=0.00032+0.0064=0.00672
לפחות הצלחה אחת

“לפחות הצלחה אחת” הוא המאורע המשלים של “אף הצלחה”: במקום לחבר n\displaystyle n איברים, מחסירים מ-1 איבר אחד.

1−Pn(0)=1−(1−p)n\displaystyle 1-P_n(0)=1-(1-p)^n

כרטיס בהגרלה זוכה בהסתברות 0.2\displaystyle 0.2.
דני קונה 5 כרטיסים בהגרלות שונות.
ההסתברות שלפחות כרטיס אחד יזכה:

1−0.85=1−0.32768=0.672321-0.8^5=1-0.32768=0.67232
המספר הקטן ביותר של ניסויים

ככל שיש יותר ניסויים, (1−p)n\displaystyle (1-p)^n קטן, וההסתברות שתהיה לפחות הצלחה אחת גדלה. לכן אפשר למצוא את המספר הקטן ביותר של ניסויים שבו ההסתברות עוברת גבול מסוים – בעזרת ניסוי וטעייה.

בדוגמה שלפניכם נמצא כמה כרטיסים דני צריך לקנות, כדי שההסתברות שלפחות אחד מהם יזכה תהיה גדולה מ-0.9\displaystyle 0.9.

צריך 1−0.8n>0.9\displaystyle 1-0.8^n>0.9, כלומר 0.8n<0.1\displaystyle 0.8^n<0.1. מנסים מספרים:

n\displaystyle n0.8n\displaystyle 0.8^n1−0.8n\displaystyle 1-0.8^n
10≈0.107\displaystyle \approx0.107≈0.893\displaystyle \approx0.893
11≈0.086\displaystyle \approx0.086≈0.914\displaystyle \approx0.914

ב-10 כרטיסים ההסתברות עדיין קטנה מ-0.9\displaystyle 0.9, וב-11 היא כבר גדולה ממנו. דני צריך לקנות לפחות 11 כרטיסים.

מספר ההצלחות שההסתברות שלו הגדולה ביותר

כדי למצוא את מספר ההצלחות שההסתברות שלו הגדולה ביותר, מחשבים את Pn(k)\displaystyle P_n(k) לכל k\displaystyle k ומשווים. ההסתברויות עולות עד מספר מסוים, ואחריו יורדות.

התרופה של הדוגמה, 5 חולים:

k\displaystyle k012345
P5(k)\displaystyle P_5(k)0.00032\displaystyle 0.000320.0064\displaystyle 0.00640.0512\displaystyle 0.05120.2048\displaystyle 0.20480.4096\displaystyle 0.40960.32768\displaystyle 0.32768

הכי סביר שהתרופה תעזור ל-4 מתוך 5 החולים – וזה גם 5⋅0.8=4\displaystyle {5\cdot0.8}={4}, 80% מהחולים.

נוסחת ברנולי כשלב בעץ

ניסוי חוזר יכול להיות שלב אחד בעץ: בעץ שלפניכם השלב השני הוא כל שלוש ההטלות יחד, וההסתברויות על הענפים שלו חושבו בנוסחת ברנולי.

בקופסה שני מטבעות: מטבע מאוזן, ומטבע לא מאוזן שבו ההסתברות לעץ היא 0.8\displaystyle 0.8.
בוחרים מטבע באקראי, ומטילים אותו 3 פעמים.
T\displaystyle T – יצא עץ בדיוק פעמיים.

  • במטבע המאוזן: P3(2)=(32)⋅0.52⋅0.5=0.375\displaystyle {P_3(2)}={\binom{3}{2}\cdot0.5^2\cdot0.5}={0.375}.
  • במטבע הלא מאוזן: P3(2)=(32)⋅0.82⋅0.2=0.384\displaystyle {P_3(2)}={\binom{3}{2}\cdot0.8^2\cdot0.2}={0.384}.

לפי נוסחת ההסתברות השלמה:

P(T)=0.5⋅0.375+0.5⋅0.384=0.1875+0.192=0.3795P(T)=0.5\cdot0.375+0.5\cdot0.384=0.1875+0.192=0.3795

ובשאלה ההפוכה – ידוע שיצא עץ בדיוק פעמיים; מה ההסתברות שהמטבע לא מאוזן?

0.1920.3795≈0.506\frac{0.192}{0.3795}\approx0.506
תרגיל 1

קשתת פוגעת במטרה בהסתברות 0.6\displaystyle 0.6 בכל חץ, בלי קשר לחצים האחרים.
היא יורה 4 חצים.

א

מה ההסתברות שתפגע לפחות 3 פעמים?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    מה ההסתברות שתפגע לכל היותר פעם אחת?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      מה ההסתברות שתפגע לפחות פעם אחת?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        כרטיס גירוד זוכה בפרס בהסתברות 0.3\displaystyle 0.3, בלי קשר לכרטיסים האחרים.
        מאיה קונה כמה כרטיסים.

        א

        מאיה קונה 8 כרטיסים. מה ההסתברות שלפחות אחד מהם יזכה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          מאיה קונה 9 כרטיסים. מה ההסתברות שלפחות אחד מהם יזכה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            מה המספר הקטן ביותר של כרטיסים שמאיה צריכה לקנות, כדי שההסתברות שלפחות אחד מהם יזכה תהיה גדולה מ-0.95\displaystyle 0.95? הסבירו.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              מטילים קובייה מאוזנת 6 פעמים, וסופרים כמה פעמים יצא 6.
              בכל סעיף עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

              א

              מה ההסתברות ש-6 לא יצא אף פעם?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                מה ההסתברות ש-6 יצא בדיוק פעם אחת?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג

                  מה ההסתברות ש-6 יצא בדיוק פעמיים?

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ד

                    איזה מספר של פעמים שבהן יצא 6 הוא הסביר ביותר? הסבירו בעזרת התוצאות.

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      תרגיל 4

                      בקופסה A חצי מהכדורים אדומים.
                      בקופסה B רבע מהכדורים אדומים.
                      מטילים מטבע מאוזן כדי לבחור קופסה, ומוציאים ממנה 3 כדורים, כל פעם עם החזרה.
                      T\displaystyle T – יצא בדיוק כדור אדום אחד.

                      חשבו בנוסחת ברנולי את ההסתברויות של השלב השני, והשלימו את העץ.

                      א

                      מה ההסתברות שיצא בדיוק כדור אדום אחד?

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ב

                        ידוע שיצא בדיוק כדור אדום אחד. מה ההסתברות שהכדורים הוצאו מקופסה B?

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          תרגיל 5

                          נועה קולעת לסל בהסתברות 0.7\displaystyle 0.7 בכל זריקה, בלי קשר לזריקות האחרות.
                          היא זורקת 3 זריקות.
                          ידוע שקלעה לפחות פעם אחת.

                          מה ההסתברות שקלעה בדיוק פעמיים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה