דלג לתוכן

הסתברות מותנית

הסתברות, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 6 מתוך 16לימוד

הסתברות מותנית

ההסתברות כשידוע שמאורע קרה

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כשכבר ידוע שמאורע אחר קרה. ההסתברות של A\displaystyle A בהינתן B\displaystyle B כותבים P(A/B)\displaystyle P(A/B) (וגם P(A∣B)\displaystyle P(A|B)).

הידיעה ש-B\displaystyle B קרה מצמצמת את מרחב המדגם: נשארות רק התוצאות של B\displaystyle B.

בטבלה של 450 התלמידים מהשיעור הקודם:

מתנדביםלא מתנדביםסך הכול
י’48112160
י"א6090150
י"ב7268140
סך הכול180270450

פגשתם תלמיד מי"ב. מה ההסתברות שהוא מתנדב?

  • ידוע שהתלמיד בי"ב, ולכן בוחרים רק מבין 140 התלמידים של י"ב – השורה שלהם היא עכשיו כל מרחב המדגם.
  • מתוכם 72 מתנדבים.
P(V/T)=72140=1835P(V/T)=\frac{72}{140}=\frac{18}{35}

מכל התלמידים מתנדבים 25=0.4\displaystyle {\frac{2}{5}}={0.4}, ומבין תלמידי י"ב – 1835≈0.51\displaystyle \frac{18}{35}\approx0.51.

ההגדרה של הסתברות מותנית

בטבלה של מספרים מחלקים את התא בסך הכול של השורה. כשמחלקים את שניהם במספר כל התלמידים, 450, השבר לא משתנה – וזו ההגדרה של הסתברות מותנית:

P(A/B)=P(A∩B)P(B)\displaystyle P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

ההגדרה דורשת P(B)>0\displaystyle P(B)>0. בכפל ב-P(B)\displaystyle P(B) מקבלים את ההסתברות של חיתוך מתוך הסתברות מותנית:

P(A∩B)\displaystyle P(A\cap B) =\displaystyle = P(B)⋅P(A/B)\displaystyle P(B)\cdot P(A/B)
טבלה מאחוזים מותנים

לעתים קרובות הנתונים הם אחוזים מתוך קבוצה, כלומר הסתברויות מותנות. כופלים אותם בגודל הקבוצה ומקבלים את התאים של הטבלה.

בתיכון 55% מהתלמידים בנות.
40% מהבנות ו-60% מהבנים משחקים בקבוצת ספורט.
G\displaystyle G – בת; S\displaystyle S – משחק בקבוצת ספורט.

  • P(G∩S)=P(G)⋅P(S/G)=0.55⋅0.4=0.22\displaystyle {P(G\cap S)}={P(G)\cdot P(S/G)}={0.55\cdot0.4}={0.22};
  • P(G‾∩S)=0.45⋅0.6=0.27\displaystyle {P(\overline{G}\cap S)}={0.45\cdot0.6}={0.27}.

מודל השטח מצייר את הטבלה: ריבוע ששטחו 1, רצועה לבנות ורצועה לבנים ברוחב ההסתברויות שלהן, וכל רצועה נחתכת לפי ההסתברויות המותנות. השטח של כל מלבן הוא תא בטבלה, והמלבנים של S\displaystyle S מסומנים:

P(S)=0.22+0.27=0.49P(S)=0.22+0.27=0.49

ומבין שחקני הספורט, ההסתברות לבת:

P(G/S)=P(G∩S)P(S)=0.220.49=2249P(G/S)=\frac{P(G\cap S)}{P(S)}=\frac{0.22}{0.49}=\frac{22}{49}
ההבדל בין P(A/B)\displaystyle P(A/B) לבין P(B/A)\displaystyle P(B/A)

P(A/B)\displaystyle P(A/B) ו-P(B/A)\displaystyle P(B/A) הן שתי שאלות שונות: המונה שלהן אותו חיתוך, אבל המכנה שונה – פעם P(B)\displaystyle P(B) ופעם P(A)\displaystyle P(A).

  • בבית הספר: P(V/T)=72140=1835\displaystyle {P(V/T)}={\frac{72}{140}}={\frac{18}{35}} – מבין תלמידי י"ב, אבל P(T/V)=72180=25\displaystyle {P(T/V)}={\frac{72}{180}}={\frac{2}{5}} – מבין המתנדבים.
  • ההסתברות שאדם גבוה מ-1.90 מטר בהינתן שהוא שחקן בליגת הכדורסל קרובה ל-1. ההסתברות שהוא שחקן בליגה בהינתן שהוא גבוה מ-1.90 מטר קרובה ל-0: יש הרבה יותר אנשים גבוהים משחקני כדורסל.

ההבדל גדול במיוחד כשאחד המאורעות נדיר מאוד והשני נפוץ.

מה הערך של P(A/B)\displaystyle P(A/B) אומר

P(A/B)\displaystyle P(A/B) אומרת כמה מתוך B\displaystyle B נמצא גם בתוך A\displaystyle A:

  • P(A/B)\displaystyle P(A/B) קרובה ל-0 – כמעט אין חיתוך: A\displaystyle A ו-B\displaystyle B קרובים להיות מאורעות זרים.
  • P(A/B)\displaystyle P(A/B) קרובה ל-P(A)\displaystyle P(A) – הידיעה ש-B\displaystyle B קרה כמעט לא משנה את הסיכוי של A\displaystyle A.
  • P(A/B)\displaystyle P(A/B) קרובה ל-1 – כמעט כל B\displaystyle B נמצא בתוך A\displaystyle A. אם P(A/B)=1\displaystyle {P(A/B)}={1}, אז כש-B\displaystyle B קורה גם A\displaystyle A קורה.
תרגיל 1

במרפאה בדקו 1000 מטופלים בחורף:

חלו בשפעתלא חלוסך הכול
התחסנו18582600
לא התחסנו40360400
סך הכול589421000

בוחרים מטופל באקראי.

א

ידוע שהמטופל התחסן. מה ההסתברות שהוא חלה בשפעת?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    ידוע שהמטופל לא התחסן. מה ההסתברות שהוא חלה בשפעת?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      ידוע שהמטופל חלה בשפעת. מה ההסתברות שהוא התחסן?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        70% מהעובדים בחברה מגיעים לעבודה ברכב, והשאר בדרך אחרת.
        20% מהמגיעים ברכב מאחרים לפחות פעם בשבוע.
        5% מהמגיעים בדרך אחרת מאחרים לפחות פעם בשבוע.
        כתבו במודל השטח את השטח של כל מלבן, וסמנו את המלבנים של העובדים שמאחרים.

        א

        מה ההסתברות שעובד שנבחר באקראי מאחר לפחות פעם בשבוע?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          ידוע שעובד מאחר לפחות פעם בשבוע. מה ההסתברות שהוא מגיע ברכב?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            P(A)=0.5\displaystyle {P(A)}={0.5},‏ P(B)=0.4\displaystyle {P(B)}={0.4},‏ P(A∪B)=0.7\displaystyle {P(A\cup B)}={0.7}.

            א

            חשבו את P(A∩B)\displaystyle P(A\cap B).

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              חשבו את P(A/B)\displaystyle P(A/B).

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                חשבו את P(B/A)\displaystyle P(B/A).

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 4

                  P(B)=0.6\displaystyle {P(B)}={0.6},‏ P(A/B)=0.25\displaystyle {P(A/B)}={0.25},‏ P(A)=0.3\displaystyle {P(A)}={0.3}.

                  א

                  חשבו את P(A∩B)\displaystyle P(A\cap B).

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב

                    חשבו את P(B/A)\displaystyle P(B/A).

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ג

                      חשבו את P(A/B‾)\displaystyle P(A/\overline{B}).

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ד

                        השוו את P(A/B)\displaystyle P(A/B) ואת P(A/B‾)\displaystyle P(A/\overline{B}) ל-P(A)\displaystyle P(A). מה הידיעה ש-B\displaystyle B קרה עושה לסיכוי של A\displaystyle A?