דלג לתוכן

עקרון הכפל, עצרת ומקדמים בינומיים

הסתברות, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 12 מתוך 16לימוד

עקרון הכפל, עצרת ומקדמים בינומיים

עקרון הכפל

עקרון הכפל: כשבוחרים בכמה שלבים, ומספר האפשרויות בכל שלב לא תלוי במה שנבחר בשלבים שלפניו, מספר כל האפשרויות הוא המכפלה של מספרי האפשרויות בשלבים.

בארוחה עסקית במסעדה “טעימטיקה” בוחרים מנה ראשונה אחת מתוך שתיים.
בוחרים מנה עיקרית אחת מתוך ארבע.
בוחרים קינוח אחד מתוך שלושה.

כל מנה ראשונה אפשר לצרף לכל אחת מארבע המנות העיקריות: 2⋅4=8\displaystyle {2\cdot4}={8} זוגות. כל זוג כזה אפשר לצרף לכל אחד משלושת הקינוחים:

2⋅4⋅3=242\cdot4\cdot3=24

אפשר להרכיב 24 ארוחות עסקיות שונות. בעץ של הבחירה יש 24 מסלולים – מסלול לכל ארוחה.

בחירה סדורה

בחירה סדורה היא בחירה של כמה עצמים שונים בזה אחר זה, כשהסדר חשוב: מי נבחר ראשון, מי שני. כל בחירה מקטינה ב-1 את מספר האפשרויות לבחירה הבאה.

במשחק מחשב כל משתתף בוחר דמות (אווטאר) מתוך 6 דמויות.
דמות שנבחרה כבר לא פנויה לאחרים.
6 ילדים משתתפים במשחק, ובוחרים דמויות בזה אחר זה.

  • הילד הראשון בוחר מתוך 6 דמויות, השני מתוך 5 שנשארו, וכך הלאה עד האחרון, שנשארה לו דמות אחת: 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=7206\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720
  • אם משתתפים רק 4 ילדים, הבחירה נעצרת אחרי ארבעה שלבים: 6⋅5⋅4⋅3=3606\cdot5\cdot4\cdot3=360
עצרת

המכפלה של כל המספרים הטבעיים מ-1 עד n\displaystyle n נקראת n\displaystyle n עצרת, ומסמנים אותה n!\displaystyle n!:

n!=1⋅2⋅3⋅⋯⋅n\displaystyle n!=1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n
  • 3!=1⋅2⋅3=6\displaystyle {3!}={1\cdot2\cdot3}={6}; 6!=720\displaystyle {6!}={720}.
  • מגדירים 0!=1\displaystyle {0!}={1}, כדי שהנוסחאות שלהלן יתאימו גם כשבוחרים את כל העצמים או אף אחד מהם.

בעזרת עצרת כותבים בקיצור בחירה סדורה. ב-6⋅5⋅4⋅3\displaystyle 6\cdot5\cdot4\cdot3 חסרים בסוף רק 2⋅1=2!\displaystyle {2\cdot1}={2!}, ולכן 6⋅5⋅4⋅3=6!2!\displaystyle {6\cdot5\cdot4\cdot3}={\frac{6!}{2!}}. באופן כללי, מספר הדרכים לבחור בזה אחר זה k\displaystyle k עצמים שונים מתוך n\displaystyle n:

n⋅(n−1)⋅⋯⋅(n−k+1)=n!(n−k)!\displaystyle n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}
בחירה בלי חשיבות לסדר

כשבוחרים קבוצה, והסדר שבו נבחרו האיברים שלה לא חשוב, מספר הקבוצות הוא מספר הבחירות הסדורות חלקי k!\displaystyle k! – מספר הסדרים של כל קבוצה.

מבין 10 רקדנים בוחרים 3 להופעת מחול.

  • שלושה תפקידים שונים – רקדן ראשי, רקדן שני ורקדן שלישי: הסדר חשוב, 10⋅9⋅8=720\displaystyle {10\cdot9\cdot8}={720} דרכים.
  • שלושה תפקידים זהים: הקבוצה של רון, מאיה ותום מופיעה בין 720 הבחירות הסדורות 3!=6\displaystyle {3!}={6} פעמים – פעם לכל סדר של שלושתם. לכן מספר הקבוצות: 7203!=7206=120\frac{720}{3!}=\frac{720}{6}=120

מספר הדרכים לבחור k\displaystyle k עצמים מתוך n\displaystyle n, בלי חשיבות לסדר, הוא המקדם הבינומי (nk)\displaystyle \binom{n}{k} (קוראים “n\displaystyle n מעל k\displaystyle k”):

(nk)=n!k!(n−k)!\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

ברקדנים: (103)=10!3!⋅7!=10⋅9⋅83!=120\displaystyle {\binom{10}{3}}={\frac{10!}{3!\cdot7!}}={\frac{10\cdot9\cdot8}{3!}}={120}.

מסלולים עם בדיוק k\displaystyle k הצלחות

המקדם הבינומי סופר גם מסלולים בעץ. כל מסלול בעץ של n\displaystyle n שלבים, שבכל שלב הצלחה או כישלון, נקבע לפי השלבים שבהם הייתה הצלחה – ולכן יש (nk)\displaystyle \binom{n}{k} מסלולים עם בדיוק k\displaystyle k הצלחות.

שחקנית זורקת לסל 5 פעמים. כל זריקה היא הצלחה (ה) או כישלון (כ).

כדי לקבל בדיוק 2 הצלחות בוחרים את שתי הזריקות המוצלחות מתוך 5, והשאר כישלונות:

(52)=5!2!⋅3!=5⋅42=10\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\cdot3!}=\frac{5\cdot4}{2}=10

עשרת המסלולים, לפי המקומות של שתי ההצלחות: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5). למשל, (2,5) הוא המסלול כהככה – הצלחה בזריקה השנייה ובחמישית.

תרגיל 1

בקיוסק גלידה יש 3 סוגים של גביעים, 5 טעמים של גלידה ו-2 סוגים של ציפוי.
מנה היא גביע אחד, טעם אחד וציפוי אחד.

כמה מנות שונות אפשר להרכיב?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    בכיתה 12 תלמידים: 5 בנות ו-7 בנים.

    א

    בוחרים מבין התלמידים יושב ראש, מזכיר וגזבר – שלושה תלמידים שונים. בכמה דרכים אפשר לבחור אותם?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ב

      בוחרים 3 נציגים לפגישה עם המנהלת. בכמה דרכים אפשר לבחור אותם?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ג

        בוחרים שני נציגים: בת אחת ובן אחד. בכמה דרכים אפשר לבחור אותם?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          חשבו את שני המקדמים הבינומיים.

          א

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

              הסבירו בלי לחשב למה (83)=(85)\displaystyle {\binom{8}{3}}={\binom{8}{5}}: חשבו על בחירה של 3 אנשים מתוך 8.

              תרגיל 4

              מטילים מטבע 6 פעמים, ורושמים את התוצאות לפי הסדר.

              א

              כמה סדרות של תוצאות אפשריות?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                בכמה סדרות מתקבל עץ בדיוק 4 פעמים?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג

                  המטבע מאוזן, ולכן כל הסדרות שוות הסתברות. מה ההסתברות לקבל עץ בדיוק 4 פעמים?

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה