מאורעות תלויים ומאורעות בלתי תלויים

שני מאורעות הם בלתי תלויים כשהידיעה שאחד מהם קרה לא מוסיפה מידע על השני – לא משנה את ההסתברות שלו:

אחרת המאורעות תלויים. ההגדרה סימטרית: אם $\displaystyle {P(A/B)}={P(A)}$, אז גם $\displaystyle {P(B/A)}={P(B)}$.

מטילים קובייה מאוזנת. $\displaystyle A$ – “יתקבל מספר זוגי”, $\displaystyle {P(A)}={\frac{1}{2}}$.

• $\displaystyle B$ – “יתקבל לכל היותר 2”, $\displaystyle {B}={\{1,2\}}$: מתוך שתי התוצאות של $\displaystyle B$ אחת זוגית, $\displaystyle {P(A/B)}={\frac{1}{2}}={P(A)}$. $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ בלתי תלויים.
• $\displaystyle C$ – “יתקבל לפחות 4”, $\displaystyle {C}={\{4,5,6\}}$: מתוך שלוש התוצאות של $\displaystyle C$ שתיים זוגיות, $\displaystyle {P(A/C)}={\frac{2}{3}\neq P(A)}$. $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle C$ תלויים.

אפשר לבדוק אי־תלות בשלוש דרכים, וכל אחת מהן שקולה לאחרות: אם אחת נכונה, כולן נכונות.

• $\displaystyle {P(A/B)}={P(A)}$ – ההגדרה.
• $\displaystyle {P(A/B)}={P(A/\overline{B})}$ – ההסתברות של $\displaystyle A$ זהה כש-$\displaystyle B$ קורה וכשהוא לא קורה.
• $\displaystyle {P(A\cap B)}={P(A)\cdot P(B)}$ – הבדיקה הנוחה ביותר: בלי חילוק, והיא נכונה גם כש-$\displaystyle {P(B)}={0}$.

הבדיקה השלישית נובעת מההגדרה של הסתברות מותנית: $\displaystyle {P(A\cap B)}={P(B)\cdot P(A/B)}$, ואם $\displaystyle {P(A/B)}={P(A)}$, אז $\displaystyle {P(A\cap B)}={P(B)\cdot P(A)}$.

בקובייה: $\displaystyle {P(A\cap B)}={P(\{2\})}={\frac{1}{6}}={\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}$ – בלתי תלויים; $\displaystyle {P(A\cap C)}={P(\{4,6\})}={\frac{1}{3}\neq\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}$ – תלויים.

בטבלה של מספרים, שני מאורעות בלתי תלויים כשהחלק של העמודה זהה בכל שורה – וזהה לחלק שלה בסך הכול.

שאלו 200 תלמידים אם הם אוהבים מתמטיקה:

• מבין הבנים: $\displaystyle {\frac{48}{120}}={0.4}$; מבין הבנות: $\displaystyle {\frac{32}{80}}={0.4}$; מכל התלמידים: $\displaystyle {\frac{80}{200}}={0.4}$.
• “התלמיד אוהב מתמטיקה” ו"התלמיד בן" בלתי תלויים: הידיעה שהתלמיד בן לא משנה את הסיכוי שהוא אוהב מתמטיקה.

מאורעות זרים ומאורעות בלתי תלויים הם שני דברים שונים. שני מאורעות זרים שלכל אחד מהם הסתברות גדולה מ-0 הם תמיד תלויים:

• הם זרים, ולכן $\displaystyle {P(A\cap B)}={0}$;
• $\displaystyle P(A)>0$ ו-$\displaystyle P(B)>0$, ולכן $\displaystyle P(A)\cdot P(B)>0$;
• $\displaystyle P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B)$.

במילים: אם ידוע ש-$\displaystyle B$ קרה, ידוע בוודאות ש-$\displaystyle A$ לא קרה – $\displaystyle {P(A/B)}={0}$. זה מידע רב על $\displaystyle A$.

כשידוע שמאורעות בלתי תלויים, ההסתברות של החיתוך היא מכפלה. גם המשלימים של מאורעות בלתי תלויים בלתי תלויים, ולכן את “לפחות אחד” מחשבים בעזרת המשלים.

במפעל שתי מכונות שפועלות בלי קשר זו לזו.
ההסתברות שמכונה א’ תתקלקל ביום מסוים היא 0.1, וההסתברות שמכונה ב’ תתקלקל היא 0.05.

• שתי המכונות מתקלקלות: $\displaystyle {0.1\cdot0.05}={0.005}$.
• לפחות מכונה אחת מתקלקלת – המשלים של “אף מכונה לא מתקלקלת”: $\displaystyle {1-0.9\cdot0.95}={1-0.855}={0.145}$.

מטילים קובייה מאוזנת.
$\displaystyle A$ – “יתקבל מספר גדול מ-4”; $\displaystyle B$ – “יתקבל מספר אי־זוגי”; $\displaystyle C$ – “יתקבל מספר ראשוני” (2, 3 או 5).

חשבו את $\displaystyle P(A\cap B)$.

האם $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ בלתי תלויים? הסבירו בעזרת $\displaystyle {P(A\cap B)}={P(A)\cdot P(B)}$.

האם $\displaystyle B$ ו-$\displaystyle C$ בלתי תלויים? הסבירו.

בסקר בין 500 נהגים:

ידוע שנהג השתמש בטלפון בזמן נהיגה. מה ההסתברות שהוא היה בתאונה?

האם “הנהג היה בתאונה” ו"הנהג השתמש בטלפון" מאורעות בלתי תלויים? הסבירו.

$\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ מאורעות בלתי תלויים.
$\displaystyle {P(A)}={0.4}$,‏ $\displaystyle {P(A\cup B)}={0.7}$.

סמנו $\displaystyle {P(B)}={x}$, ומצאו את $\displaystyle x$.

מה ההסתברות שלא $\displaystyle A$ ולא $\displaystyle B$ קורים?

בבית שלושה גלאי עשן, וכל אחד פועל בלי קשר לאחרים.
ההסתברות שגלאי מסוים יתריע בזמן שריפה היא 0.9.

מה ההסתברות שלפחות גלאי אחד יתריע בזמן שריפה?

$\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ מאורעות בלתי תלויים, וההסתברות של כל אחד מהם היא $\displaystyle p$.
$\displaystyle {P(A\cup B)}={0.64}$.

כתבו משוואה ב-$\displaystyle p$ ופתרו אותה. רק פתרון בין 0 ל-1 יכול להיות הסתברות.

$\displaystyle {P(A)}={0.3}$,‏ $\displaystyle {P(B)}={0.5}$.

חשבו את $\displaystyle P(A\cup B)$ אם $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ מאורעות זרים.

חשבו את $\displaystyle P(A\cup B)$ אם $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ מאורעות בלתי תלויים.