פעולות על מאורעות ודיאגרמת ון

משני מאורעות בונים מאורעות חדשים:

• האיחוד $\displaystyle A\cup B$ – “$\displaystyle A$ או $\displaystyle B$”: התוצאות שנמצאות לפחות באחד מהם, וגם אלה שבשניהם.
• החיתוך $\displaystyle A\cap B$ – “$\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$”: התוצאות שנמצאות בשניהם.

בדיאגרמת ון המלבן הוא מרחב המדגם, וכל עיגול הוא מאורע. החלק המשותף לשני העיגולים הוא החיתוך, ושני העיגולים יחד הם האיחוד.

בכד 12 פתקים, ועליהם המספרים מ-1 עד 12. מוציאים פתק אחד באקראי.
$\displaystyle A$ – “המספר מתחלק ב-3”; $\displaystyle B$ – “המספר זוגי”.

• $\displaystyle {A\cap B}={\{6,12\}}$, ולכן $\displaystyle {P(A\cap B)}={\frac{2}{12}}={\frac{1}{6}}$.
• $\displaystyle {A\cup B}={\{2,3,4,6,8,9,10,12\}}$, ולכן $\displaystyle {P(A\cup B)}={\frac{8}{12}}={\frac{2}{3}}$.

המאורע המשלים של $\displaystyle A$, שמסמנים $\displaystyle \overline{A}$, הוא כל התוצאות שאינן ב-$\displaystyle A$: “$\displaystyle A$ לא קורה”. בדיאגרמת ון הוא כל מה שבמלבן ומחוץ לעיגול של $\displaystyle A$.

בעזרת המשלים מתארים כל חלק של דיאגרמת ון. בכד של 12 הפתקים:

• רק $\displaystyle A$ – “$\displaystyle A$ וגם לא $\displaystyle B$”: $\displaystyle {A\cap\overline{B}}={\{3,9\}}$.
• רק $\displaystyle B$: $\displaystyle {\overline{A}\cap B}={\{2,4,8,10\}}$.
• לא $\displaystyle A$ ולא $\displaystyle B$ – מחוץ לשני העיגולים: $\displaystyle {\overline{A}\cap\overline{B}}={\{1,5,7,11\}}$. זה בדיוק המשלים של האיחוד: $\displaystyle {\overline{A\cup B}}={\overline{A}\cap\overline{B}}$.

שני מאורעות זרים כשאין להם אף תוצאה משותפת: $\displaystyle {A\cap B}={\emptyset}$. הם לא יכולים לקרות יחד, ובדיאגרמת ון העיגולים שלהם לא נוגעים זה בזה.

• בכד של 12 הפתקים, “המספר 1” ו"המספר זוגי" – זרים.
• $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle \overline{A}$ תמיד זרים, והאיחוד שלהם הוא כל מרחב המדגם: $\displaystyle {A\cup\overline{A}}={U}$.
• “המספר קטן מ-4” ו"המספר גדול מ-9" זרים, אבל אינם משלימים: 5, למשל, לא נמצא באף אחד מהם.

דיאגרמת ון מסדרת גם נתונים של סקר: בכל חלק כותבים כמה אנשים יש בו. ממלאים אותה מבפנים החוצה – קודם את החיתוך.

בכיתה 32 תלמידים.
18 תלמידים לומדים מוזיקה, 13 לומדים תיאטרון, ו-6 לומדים את שניהם.
$\displaystyle M$ – התלמיד לומד מוזיקה; $\displaystyle D$ – התלמיד לומד תיאטרון.

• בחיתוך: 6.
• רק מוזיקה: $\displaystyle {18-6}={12}$. רק תיאטרון: $\displaystyle {13-6}={7}$.
• לא מוזיקה ולא תיאטרון: $\displaystyle {32-(12+6+7)}={7}$.

בוחרים תלמיד באקראי:

• $\displaystyle {P(M\cup D)}={\frac{12+6+7}{32}}={\frac{25}{32}}$;
• “לומד בדיוק אחד מהשניים” – רק מוזיקה או רק תיאטרון: $\displaystyle {\frac{12+7}{32}}={\frac{19}{32}}$.

בכד 20 פתקים, ועליהם המספרים מ-1 עד 20.
מוציאים פתק אחד באקראי.
$\displaystyle A$ – “המספר מתחלק ב-4”; $\displaystyle B$ – “המספר גדול מ-14”.

כתבו את המאורעות $\displaystyle A\cap B$,‏ $\displaystyle A\cup B$ ו-$\displaystyle A\cap\overline{B}$ כקבוצות של תוצאות.

חשבו את $\displaystyle P(A\cup B)$.

מה ההסתברות שהמספר לא מתחלק ב-4 וגם לא גדול מ-14?

בשכבה 40 תלמידים.
22 תלמידים עוסקים בספורט, ו-15 מנגנים בכלי נגינה.
9 תלמידים לא עוסקים בספורט וגם לא מנגנים.

כמה תלמידים עוסקים בספורט וגם מנגנים? סמנו ב-$\displaystyle x$ את מספרם, ופתרו משוואה: סכום ארבעת החלקים של דיאגרמת ון הוא 40.

בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהוא עוסק רק בספורט?

מה ההסתברות שהתלמיד עוסק בדיוק באחד מהשניים – ספורט או נגינה?

מטילים קובייה כחולה וקובייה אדומה.
$\displaystyle A$ – “בקובייה הכחולה יצא 6”; $\displaystyle B$ – “סכום שתי הקוביות לפחות 10”.
סמנו בטבלה את התוצאות של המאורע $\displaystyle A\cap\overline{B}$, וחשבו את ההסתברות שלו.

$\displaystyle A$ ו-$\displaystyle \overline{A}$ הם מאורעות זרים.
האם כל שני מאורעות זרים הם מאורעות משלימים? הסבירו, ותנו דוגמה מהקובייה.