עץ הסתברויות לניסוי רב־שלבי
עץ הסתברויות לניסוי רב־שלבי
עץ הסתברויות מתאר ניסוי של כמה שלבים. כל שלב הוא עמודה של ענפים, ועל כל ענף כתובה ההסתברות שלו. מסלול – מההתחלה ועד הקצה – הוא תוצאה אחת של כל הניסוי.
בקופסה 5 כדורים אדומים ו-3 כדורים לבנים.
מוציאים כדור באקראי, לא מחזירים אותו, ומוציאים עוד כדור.
- בשלב הראשון 8 כדורים: אדום בהסתברות , לבן בהסתברות .
- בשלב השני נשארו 7 כדורים, וההרכב שלהם תלוי במה שיצא קודם. אחרי אדום נשארו 4 אדומים ו-3 לבנים; אחרי לבן – 5 אדומים ו-2 לבנים.
בעמודה האחרונה – ההסתברות של כל מסלול: מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו. שני אדומים: .
ההסתברות של מסלול היא מכפלה בגלל ההגדרה של ההסתברות המותנית. הענף בשלב השני הוא הסתברות מותנית: ההסתברות שיצא אדום בפעם השנייה בהינתן שיצא אדום בפעם הראשונה.
– הכדור הראשון אדום; – הכדור השני אדום.
מההגדרה , ובכפל ב-:
במסלול של שלושה שלבים כופלים באותו אופן עוד ענף: ההסתברות של השלב השלישי בהינתן שני השלבים שלפניו.
מאורע יכול להיות כמה מסלולים. מסלולים שונים הם תוצאות שונות של הניסוי – מאורעות זרים – ולכן מחברים את ההסתברויות שלהם.
– “שני הכדורים בצבעים שונים”. המסלולים של מסומנים:
- אדום ואחריו לבן: .
- לבן ואחריו אדום: .
ההסתברויות של כל המסלולים יחד הן 1: . זו דרך טובה לבדוק עץ.
כשהשלבים בלתי תלויים, התוצאה של שלב אחד לא משנה את ההסתברויות של השלב הבא: . לכן על כל מזלג של אותו שלב כתובות אותן הסתברויות, והמסלול הוא פשוט מכפלת ההסתברויות של השלבים.
שחקנית כדורסל קולעת זריקת עונשין בהסתברות , בלי קשר לזריקות האחרות.
היא זורקת שלוש זריקות.
בדוגמה שלפניכם נחשב את ההסתברות שהיא תקלע בדיוק שתי זריקות. המסלולים של המאורע מסומנים:
בדיוק שתי קליעות הן שלושה מסלולים – ההחטאה בזריקה הראשונה, בשנייה או בשלישית. בכל אחד מהם שתי קליעות והחטאה אחת, ולכן לשלושתם אותה הסתברות:
המאורע “לפחות פעם אחת” הוא הרבה מסלולים, אבל המשלים שלו הוא מסלול אחד: “אף פעם לא”. לכן מחשבים את המשלים ומחסרים מ-1.
מה ההסתברות שהשחקנית תחטיא לפחות זריקה אחת מתוך השלוש?
- המשלים: היא קולעת את שלוש הזריקות, מסלול אחד: .
- לפחות החטאה אחת: .
בדרך הארוכה היה צריך לחבר שבעה מסלולים.
בעיר מסוימת, בחורף, ההסתברות לגשם ביום ראשון היא .
אם יורד גשם ביום מסוים, ההסתברות לגשם גם למחרת היא .
אם היום יבש, ההסתברות לגשם למחרת היא .
השלימו את ההסתברויות בעץ: השלב הראשון – יום ראשון, השלב השני – יום שני.
מה ההסתברות שירד גשם ביום ראשון וגם ביום שני?
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
מה ההסתברות שירד גשם ביום שני?
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
בקופסה 6 סוללות: 4 תקינות ו-2 ריקות.
מוציאים באקראי שלוש סוללות, בזו אחר זו, בלי החזרה.
השלימו את ההסתברויות בעץ.
מה ההסתברות ששלוש הסוללות תקינות?
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
מה ההסתברות שלפחות אחת מהסוללות ריקה?
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
בשקית 3 סוכריות בטעם תות, ועוד כמה סוכריות בטעם לימון.
מוציאים באקראי שתי סוכריות, בזו אחר זו, בלי החזרה.
ההסתברות ששתי הסוכריות בטעם תות היא .
כמה סוכריות בטעם לימון יש בשקית? סמנו ב- את מספר הסוכריות בטעם לימון, ופתרו משוואה.
מה ההסתברות שהסוכריות שהוצאו בטעמים שונים?
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
בהגרלה, כל כרטיס זוכה בפרס בהסתברות , בלי קשר לכרטיסים האחרים.
נועה קונה ארבעה כרטיסים.
מה ההסתברות שלפחות אחד מהכרטיסים שלה יזכה בפרס?
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה