כללי ההסתברות

ההסתברות של מאורע היא סכום ההסתברויות של התוצאות שלו. מכאן נובעים כללים שנכונים לכל מאורע, גם כשהתוצאות אינן שוות הסתברות:

• $\displaystyle {P(U)}={1}$ – מאורע ודאי; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ – מאורע בלתי אפשרי.
• אם כל התוצאות של $\displaystyle A$ נמצאות גם ב-$\displaystyle B$ – כותבים $\displaystyle A\subseteq B$ – אז $\displaystyle P(A)\le P(B)$: ל-$\displaystyle B$ יש את כל התוצאות של $\displaystyle A$, ואולי עוד.
• המאורע המשלים: ל-$\displaystyle A$ ול-$\displaystyle \overline{A}$ יחד יש את כל התוצאות, ולכן

• מאורעות זרים $\displaystyle A_1, A_2, \dots, A_n$ – לאף שניים מהם אין תוצאה משותפת: ההסתברות של האיחוד היא סכום ההסתברויות.

כשמחברים $\displaystyle P(A)+P(B)$, התוצאות של החיתוך נספרות פעמיים – פעם ב-$\displaystyle A$ ופעם ב-$\displaystyle B$. לכן מחסירים אותן פעם אחת:

במאורעות זרים $\displaystyle {P(A\cap B)}={0}$, וחוזרים לסכום.

בעיר מסוימת 60% מהמשפחות מנויות על עיתון, 45% מנויות על שירות סטרימינג, ו-25% מנויות על שניהם.
בוחרים משפחה באקראי.
$\displaystyle N$ – מנויה על עיתון; $\displaystyle S$ – מנויה על שירות סטרימינג.

• לפחות על אחד מהם: $\displaystyle {P(N\cup S)}={0.6+0.45-0.25}={0.8}$.
• על אף אחד מהם: $\displaystyle {P(\overline{N}\cap\overline{S})}={1-P(N\cup S)}={0.2}$.
• רק על עיתון: $\displaystyle {P(N\cap\overline{S})}={P(N)-P(N\cap S)}={0.6-0.25}={0.35}$.

כשבוחרים נקודה באקראי בתוך צורה, ולכל חלק של הצורה סיכוי לפי השטח שלו, ההסתברות לפגוע בחלק היא השטח של החלק חלקי השטח של כל הצורה.

חץ פוגע באקראי במטרה עגולה שהרדיוס שלה 30 ס"מ.
במרכז המטרה עיגול צבוע שהרדיוס שלו 10 ס"מ.

ההסתברות לפגוע בעיגול הצבוע:

הרדיוס של העיגול הצבוע הוא שליש מהרדיוס של המטרה, אבל ההסתברות היא רק תשיעית.

השכיחות היחסית של מאורע היא החלק של הפעמים שבהן הוא קרה מכל הפעמים שבהן חזרו על הניסוי. כשחוזרים על ניסוי הרבה פעמים, השכיחות היחסית מתקרבת להסתברות – זה חוק המספרים הגדולים. לכן כשאין דרך לחשב הסתברות, מעריכים אותה בשכיחות יחסית בהרבה חזרות.

מטילים קובייה מאוזנת. ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ-3 היא $\displaystyle \frac{1}{3}$. הטילו את הקובייה 10 פעמים, עוד 10 פעמים, ואחר כך 100 ו-1000 פעמים:

• אחרי 10 הטלות השכיחות היחסית יכולה להיות רחוקה מאוד מ-$\displaystyle \frac{1}{3}$, וכל סדרה של 10 הטלות נותנת מספר אחר.
• אחרי אלפי הטלות הקו נשאר קרוב לקו המקווקו, $\displaystyle \frac{1}{3}$.

ניסוי בודד או מעט ניסויים לא אומרים הרבה על ההסתברות; מצבור גדול של ניסויים – כן.

$\displaystyle {P(A)}={0.5}$,‏ $\displaystyle {P(B)}={0.4}$,‏ $\displaystyle {P(A\cup B)}={0.75}$.

חשבו את $\displaystyle P(A\cap B)$.

חשבו את $\displaystyle P(A\cap\overline{B})$ – ההסתברות ש-$\displaystyle A$ קורה ו-$\displaystyle B$ לא קורה.

חשבו את ההסתברות שלא $\displaystyle A$ ולא $\displaystyle B$ קורים.

ההסתברות של $\displaystyle B$ גדולה פי 2 מההסתברות של $\displaystyle A$.
$\displaystyle {P(A\cap B)}={0.1}$,‏ $\displaystyle {P(A\cup B)}={0.8}$.

סמנו $\displaystyle {P(A)}={x}$, ומצאו את $\displaystyle x$ בעזרת ההסתברות של האיחוד.

מה ההסתברות שרק $\displaystyle B$ קורה?

לוח מטרה ריבועי, והצלע שלו 20 ס"מ.
בתוך הלוח מצויר עיגול שהרדיוס שלו 10 ס"מ, והוא נוגע בארבע הצלעות.
חץ פוגע באקראי בלוח.

מה ההסתברות שהחץ יפגע מחוץ לעיגול? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

$\displaystyle {P(A)}={0.7}$,‏ $\displaystyle {P(B)}={0.6}$.

האם $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ יכולים להיות מאורעות זרים? הסבירו בעזרת הכללים.

הסבירו למה $\displaystyle P(A\cap B)\ge0.3$.