מרחב המדגם ומאורעות

ניסוי בהסתברות הוא פעולה שהתוצאה שלה לא ידועה מראש: הטלת קובייה, בחירת תלמיד באקראי, משחק כדורגל. מרחב המדגם הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות של הניסוי. מסמנים אותו באות $\displaystyle U$.

• מטילים קובייה: $\displaystyle {U}={\{1,2,3,4,5,6\}}$.
• מטילים מטבע פעמיים: ארבע תוצאות – עץ־עץ, עץ־פלי, פלי־עץ, פלי־פלי. התוצאה עץ־פלי – עץ בהטלה הראשונה ופלי בשנייה – שונה מהתוצאה פלי־עץ.
• קבוצת כדורגל משחקת משחק: שלוש תוצאות – ניצחון, תיקו, הפסד.

בפרק הזה מרחב המדגם תמיד סופי: יש בו מספר מסוים של תוצאות.

מאורע הוא קבוצה של תוצאות מתוך מרחב המדגם. אומרים שהמאורע קרה אם התוצאה של הניסוי היא אחת מהתוצאות שלו.

• מאורע פשוט – תוצאה אחת: “יתקבל 5”, $\displaystyle \{5\}$.
• מאורע מורכב – כמה תוצאות. מגדירים אותו במילים כמו “או”, “גדול מ…”, “לכל היותר”, “לפחות”:
  • “יתקבל מספר זוגי גדול מ-3”: $\displaystyle \{4,6\}$;
  • “יתקבל לכל היותר 2” – 2 או פחות: $\displaystyle \{1,2\}$;
  • “יתקבל לפחות 5” – 5 או יותר: $\displaystyle \{5,6\}$.
• מאורע ודאי – כל מרחב המדגם, $\displaystyle U$: “יתקבל מספר קטן מ-10” קורה תמיד.
• מאורע בלתי אפשרי – הקבוצה הריקה, $\displaystyle \emptyset$: “יתקבל 7” לא קורה אף פעם.

כשלכל התוצאות במרחב המדגם אותה הסתברות – קובייה מאוזנת, מטבע מאוזן, בחירה באקראי – ההסתברות של מאורע היא החלק של התוצאות שלו מכל התוצאות:

$\displaystyle k$ – מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$; $\displaystyle n$ – מספר התוצאות במרחב המדגם.

מטילים קובייה מאוזנת. $\displaystyle A$ – “יתקבל מספר זוגי גדול מ-3”.

מכאן ש-$\displaystyle {P(U)}={\frac{n}{n}}={1}$, ש-$\displaystyle {P(\emptyset)}={\frac{0}{n}}={0}$, ושההסתברות של כל מאורע היא בין 0 ל-1.

בניסוי של שני שלבים כל תוצאה היא זוג. מטילים קובייה כחולה וקובייה אדומה, ולכן במרחב המדגם $\displaystyle {6\cdot6}={36}$ זוגות שווי הסתברות – משבצת לכל זוג בטבלת התוצאות. במשבצת כתוב סכום שתי הקוביות.

$\displaystyle B$ – “סכום שתי הקוביות לכל היותר 4”. המשבצות של $\displaystyle B$ מסומנות:

ב-$\displaystyle B$ יש 6 זוגות מתוך 36:

אפשר לכתוב את מרחב המדגם של אותו ניסוי בכמה דרכים, אבל הנוסחה $\displaystyle {P(A)}={\frac{k}{n}}$ נכונה רק כשהתוצאות שוות הסתברות.

אם רושמים רק את סכום שתי הקוביות, מרחב המדגם הוא $\displaystyle \{2,3,4,\dots,12\}$ – 11 תוצאות. אבל:

• לסכום 2 יש זוג אחד, (1,1): $\displaystyle {P(2)}={\frac{1}{36}}$;
• לסכום 7 יש שישה זוגות, מ-(1,6) עד (6,1): $\displaystyle {P(7)}={\frac{6}{36}}$.

ההסתברות שהסכום יהיה 7 איננה $\displaystyle \frac{1}{11}$. כדי לחשב, חוזרים למרחב המדגם של 36 הזוגות, שבו כל התוצאות שוות הסתברות.

בכד 10 פתקים, ועליהם המספרים מ-1 עד 10.
מוציאים פתק אחד באקראי.
$\displaystyle A$ – “המספר על הפתק זוגי או גדול מ-7”.

כתבו את מרחב המדגם ואת המאורע $\displaystyle A$ כקבוצות של תוצאות.

חשבו את $\displaystyle P(A)$.

מטילים קובייה כחולה וקובייה אדומה.
סמנו בטבלה את התוצאות של המאורע “סכום שתי הקוביות לפחות 9”, וחשבו את ההסתברות שלו.

מטילים קובייה כחולה וקובייה אדומה.
בכל משבצת כתוב ההפרש בין המספר הגדול למספר הקטן.
סמנו את התוצאות של המאורע “ההפרש בין שתי הקוביות לכל היותר 1”, וחשבו את ההסתברות שלו.

במשפחה שלושה ילדים.
לכל ילד ההסתברות להיות בן שווה להסתברות להיות בת.

כתבו את מרחב המדגם. כתבו כל תוצאה לפי הסדר של הילדים מהגדול לקטן, למשל בתב – בן, אחריו בת ואחריה בן.

מה ההסתברות שבמשפחה בדיוק שתי בנות?

דנה אומרת: “מספר הבנות במשפחה יכול להיות 0, 1, 2 או 3. אלה ארבע תוצאות, ולכן ההסתברות לבדיוק שתי בנות היא $\displaystyle \frac{1}{4}$.”
הסבירו מה הטעות של דנה.