נוסחת ההסתברות השלמה והשאלה ההפוכה
נוסחת ההסתברות השלמה והשאלה ההפוכה
תוצאה של השלב השני מופיעה בעץ בסוף של כמה מסלולים – מסלול אחד לכל תוצאה של השלב הראשון. ההסתברות שלה היא סכום המסלולים האלה.
חנות מקבלת טלפונים משני ספקים.
60% מהטלפונים מגיעים מספק א’, ו-2% מהם תקולים.
40% מגיעים מספק ב’, ו-5% מהם תקולים.
בוחרים טלפון באקראי. – הטלפון תקול; – הוא מספק א'.
לטלפון תקול יש שני מסלולים: מספק א’ ומספק ב'.
בכתיבה כללית, כשלשלב הראשון שתי תוצאות, ו-:
זו נוסחת ההסתברות השלמה. כשלשלב הראשון שלוש תוצאות או יותר, מחברים מסלול לכל אחת מהן.
במודל השטח אותו חישוב הוא סכום של שטחים. הריבוע מחולק לשתי רצועות לפי הספק, וכל רצועה מחולקת לפי תקול או תקין. השטח של כל מלבן הוא ההסתברות של המסלול שלו.
המלבנים של “תקול” קטנים – ו- – והסכום שלהם הוא . רואים גם שהמלבן של ספק ב’ גדול מזה של ספק א’, למרות שהרצועה של ספק ב’ צרה יותר.
בעץ ההסתברויות של השלב השני הן בהינתן השלב הראשון. בשאלה ההפוכה ידוע מה קרה בשלב השני, ושואלים על השלב הראשון. התשובה: המסלול שעונה על השאלה, חלקי ההסתברות של מה שידוע.
בחנות מצאו טלפון תקול. מה ההסתברות שהוא מספק ב'?
- ידוע שהטלפון תקול: – שני המסלולים של “תקול”.
- מתוכם – תקול מספק ב’: .
זו ההגדרה של ההסתברות המותנית, ואין צורך בנוסחה חדשה (יש שקוראים לחישוב הזה נוסחת בייס). רק 40% מהטלפונים מספק ב’, אבל 62.5% מהטלפונים התקולים.
בדוגמה שלפניכם נחשב עד כמה סביר שאדם שהבדיקה מצאה אצלו מחלה אכן חולה – והתשובה מפתיעה.
0.1% מהאנשים חולים במחלה נדירה.
הבדיקה למחלה מאתרת נכון 98% מהחולים: אצלם התוצאה חיובית.
היא מאתרת נכון 96% מהבריאים: אצל 4% מהבריאים התוצאה חיובית בטעות.
אדם שנבחר באקראי קיבל תוצאה חיובית. מה ההסתברות שהוא חולה?
– האדם חולה; – התוצאה חיובית.
- תוצאה חיובית, שני מסלולים: .
- חולה ותוצאה חיובית: .
רק כ-2.4% מבעלי התוצאה החיובית חולים, אף שהבדיקה מדייקת אצל 98% מהחולים.
התשובה קטנה כל כך כי הבריאים רבים מאוד. במאה אלף איש:
- 100 חולים, ומתוכם 98 מקבלים תוצאה חיובית;
- 99,900 בריאים, ומתוכם 3,996 מקבלים תוצאה חיובית בטעות.
מתוך 4,094 התוצאות החיוביות רק 98 של חולים. רוב האבחונים החיוביים באים מטעות של הבדיקה, ולא מהמחלה.
השיעור של המחלה באוכלוסייה – שיעור הבסיס – משנה את התשובה מאוד. אדם שנשלח לבדיקה בגלל סימנים של המחלה איננו “אדם שנבחר באקראי”: הוא שייך לקבוצה שבה שיעור החולים גבוה יותר, ולכן אצלו לתוצאה חיובית משקל רב יותר.
אותה בדיקה מהדוגמה: היא מאתרת נכון 98% מהחולים ו-96% מהבריאים.
הפעם עושים את הבדיקה בקבוצה של אנשים עם סימנים של המחלה, ו-50% מהם חולים.
אדם מהקבוצה קיבל תוצאה חיובית. מה ההסתברות שהוא חולה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
בקבוצה אחרת אין אף חולה. מה ההסתברות שאדם מהקבוצה הזאת שקיבל תוצאה חיובית חולה? הסבירו.
בעיר מסוימת 0.2% מהתושבים עבריינים, והשאר שומרי חוק.
4% מהמשפטים של נאשמים חפים מפשע מסתיימים בהרשעה.
20% מהמשפטים של עבריינים מסתיימים בזיכוי.
תושב העיר הועמד למשפט.
השלימו את ההסתברויות בעץ.
מה ההסתברות שהתושב יורשע?
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
התושב הורשע. מה ההסתברות שהוא אכן עבריין? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
בעיר אחרת כל המשפטים של עבריינים מסתיימים בהרשעה, ושאר הנתונים זהים. תושב הורשע. מה ההסתברות שהוא עבריין? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
בבית ספר 50% מהתלמידים מגיעים באוטובוס, 30% ברגל ו-20% באופניים.
בבוקר מסוים איחרו 10% מאלה שהגיעו באוטובוס, 5% מאלה שהגיעו ברגל ו-2% מאלה שהגיעו באופניים.
בוחרים באקראי תלמיד. השלימו במודל השטח את ההסתברות של כל מלבן.
מה ההסתברות שהתלמיד איחר?
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
ידוע שהתלמיד איחר. מה ההסתברות שהוא הגיע באוטובוס? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה
/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה