דלג לתוכן

טבלה דו־ממדית

הסתברות, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 5 מתוך 16לימוד

טבלה דו־ממדית

טבלה דו־ממדית של מספרים

טבלה דו־ממדית מסדרת נתונים לפי שני משתנים בבת אחת: משתנה אחד בשורות ומשתנה אחד בעמודות. כל תא פנימי הוא חיתוך של שני מאורעות, ובשורת הסך הכול ובעמודת הסך הכול – ההסתברויות של כל מאורע לבד.

בבית ספר שאלו את 450 התלמידים של שכבות י’, י"א וי"ב אם הם מתנדבים בקהילה. זו טבלה של 3×2\displaystyle 3\times2 – שלוש שורות ושתי עמודות של נתונים:

מתנדביםלא מתנדביםסך הכול
י’48112160
י"א6090150
י"ב7268140
סך הכול180270450

בוחרים תלמיד באקראי. V\displaystyle V – התלמיד מתנדב; T\displaystyle T – התלמיד בשכבה י"ב.

  • P(V)=180450=25\displaystyle {P(V)}={\frac{180}{450}}={\frac{2}{5}} – מהסך הכול של העמודה.
  • P(T∩V)=72450=425\displaystyle {P(T\cap V)}={\frac{72}{450}}={\frac{4}{25}} – מהתא שבו השורה והעמודה נפגשות.
  • P(V‾)=270450=35\displaystyle {P(\overline{V})}={\frac{270}{450}}={\frac{3}{5}} – העמודה השנייה, וגם 1−25\displaystyle 1-\frac{2}{5}.
  • איחוד – “בשכבה י"ב או מתנדב”: P(T∪V)=140+180−72450=248450=124225\displaystyle {P(T\cup V)}={\frac{140+180-72}{450}}={\frac{248}{450}}={\frac{124}{225}}. ה-72 נמצאים גם בשורה וגם בעמודה, ולכן מחסירים אותם פעם אחת.
טבלה של הסתברויות

כשמחלקים כל תא במספר כל התלמידים, 450, מקבלים טבלה של הסתברויות. בטבלה כזאת:

  • התאים הפנימיים יחד הם 1;
  • הסך הכול של שורה או של עמודה הוא ההסתברות של המאורע שלה;
  • בכל שורה ובכל עמודה, התאים הפנימיים יחד הם הסך הכול שלה.
V\displaystyle VV‾\displaystyle \overline{V}סך הכול
י’48450\displaystyle \frac{48}{450}112450\displaystyle \frac{112}{450}160450\displaystyle \frac{160}{450}
י"א60450\displaystyle \frac{60}{450}90450\displaystyle \frac{90}{450}150450\displaystyle \frac{150}{450}
י"ב72450\displaystyle \frac{72}{450}68450\displaystyle \frac{68}{450}140450\displaystyle \frac{140}{450}
סך הכול180450\displaystyle \frac{180}{450}270450\displaystyle \frac{270}{450}1
השלמת טבלה מאחוזים

בשאלות רבות נתונים רק חלק מהתאים, באחוזים מכל האוכלוסייה. משלימים את השאר בחיסור, שורה אחר שורה ועמודה אחר עמודה.

בעיר מסוימת 40% מהתושבים צעירים מגיל 30.
25% מהתושבים משתמשים בשירות האופניים השיתופיים.
15% מהתושבים הם צעירים מגיל 30 שמשתמשים בשירות.
Y\displaystyle Y – התושב צעיר מגיל 30; S\displaystyle S – התושב משתמש בשירות.

S\displaystyle SS‾\displaystyle \overline{S}סך הכול
Y\displaystyle Y0.150.4−0.15=0.25\displaystyle {0.4-0.15}={0.25}0.4
Y‾\displaystyle \overline{Y}0.25−0.15=0.1\displaystyle {0.25-0.15}={0.1}0.6−0.1=0.5\displaystyle {0.6-0.1}={0.5}1−0.4=0.6\displaystyle {1-0.4}={0.6}
סך הכול0.251−0.25=0.75\displaystyle {1-0.25}={0.75}1

מהטבלה: ההסתברות שתושב שנבחר באקראי הוא בן 30 ומעלה ולא משתמש בשירות היא P(Y‾∩S‾)=0.5\displaystyle {P(\overline{Y}\cap\overline{S})}={0.5}.

טבלה עם נעלם

כשהנתון הוא קשר בין שני תאים, מסמנים תא אחד ב-x\displaystyle x, מבטאים בעזרתו את שאר התאים, ופותרים משוואה.

במועדון נוער 45% מהחברים הם בנות.
30% מהחברים משחקים שחמט.
ההסתברות שחבר שנבחר באקראי הוא בן שלא משחק שחמט גדולה פי 3 מההסתברות שהוא בת שמשחקת שחמט.
G\displaystyle G – בת; C\displaystyle C – משחק שחמט.

בפתרון שלפניכם נסמן P(G∩C)=x\displaystyle {P(G\cap C)}={x}, נשלים את הטבלה בעזרת x\displaystyle x, ונכתוב משוואה מהקשר בין התאים.

C\displaystyle CC‾\displaystyle \overline{C}סך הכול
G\displaystyle Gx\displaystyle x0.45−x\displaystyle 0.45-x0.45
G‾\displaystyle \overline{G}0.3−x\displaystyle 0.3-x0.55−(0.3−x)=0.25+x\displaystyle {0.55-(0.3-x)}={0.25+x}0.55
סך הכול0.30.71
0.25+x=3x0.25+x=3xx=0.125x=0.125

ההסתברות שחבר הוא בת שמשחקת שחמט היא 0.125\displaystyle 0.125, ושחבר הוא בן שלא משחק – 0.375\displaystyle 0.375.

תרגיל 1

בחדר כושר 300 מנויים:

מתאמנים בבוקרמתאמנים בערבסך הכול
גברים5496150
נשים8169150
סך הכול135165300

בוחרים מנוי באקראי.

א

מה ההסתברות שהמנוי מתאמן בבוקר?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    מה ההסתברות שהמנוי הוא אישה שמתאמנת בערב?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      מה ההסתברות שהמנוי הוא גבר או מתאמן בבוקר?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        P(A)=0.3\displaystyle {P(A)}={0.3},‏ P(B)=0.55\displaystyle {P(B)}={0.55},‏ P(A‾∩B‾)=0.25\displaystyle {P(\overline{A}\cap\overline{B})}={0.25}.
        בנו טבלה דו־ממדית של הסתברויות, ומלאו את כל התאים.

        א

        מהי P(A∩B)\displaystyle P(A\cap B)?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          מהי P(A∩B‾)\displaystyle P(A\cap\overline{B})?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            חנות מוכרת טלפונים של שלוש חברות: 25% מהטלפונים שנמכרו הם של חברה A, 45% של חברה B, והשאר של חברה C.
            10% מכל הטלפונים שנמכרו הם של חברה A ונמכרו עם ביטוח.
            18% מכל הטלפונים הם של חברה B ונמכרו עם ביטוח.
            12% מכל הטלפונים הם של חברה C ונמכרו עם ביטוח.
            בוחרים באקראי טלפון שנמכר. בנו טבלה דו־ממדית של 3×2\displaystyle 3\times2.

            א

            מה ההסתברות שהטלפון נמכר עם ביטוח?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              מה ההסתברות שהטלפון של חברה C ונמכר בלי ביטוח?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 4

                30% מהנבחנים במבחן כניסה למכללה הגיעו מהצפון, והשאר מהמרכז.
                65% מהנבחנים עברו את המבחן.
                ההסתברות לבחור באקראי נבחן מהמרכז שנכשל גדולה פי 1.5 מההסתברות לבחור נבחן מהצפון שעבר.

                א

                סמנו ב-x\displaystyle x את ההסתברות שנבחן הוא מהצפון ועבר, ומצאו את x\displaystyle x.

                  ב

                  מה ההסתברות שנבחן הוא מהצפון ונכשל?

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה