פעולות על סדרה חשבונית ותת־סדרות

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 7 מתוך 23לימוד

פעולות על סדרה חשבונית ותת־סדרות

פעולות ששומרות על סדרה חשבונית

$\displaystyle a_n$ סדרה חשבונית עם הפרש $\displaystyle d$ . הסדרות האלה חשבוניות גם הן:

$\displaystyle a_n+3$ : כל איבר גדל ב-3, וההפרש נשאר $\displaystyle d$ . הגרף זז 3 יחידות למעלה.
$\displaystyle 3a_n$ : ההפרש $\displaystyle {3a_{n+1}-3a_n}={3d}$ . הגרף נמתח פי 3 מציר $\displaystyle x$ .
$\displaystyle a_{n+2}$ : אותה סדרה, מהאיבר השלישי שלה. ההפרש $\displaystyle d$ , והגרף זז 2 יחידות שמאלה.
$\displaystyle a_{2n}$ : האיברים במקומות הזוגיים, $\displaystyle a_2, a_4, a_6, \ldots$ ביניהם שני צעדים, ולכן ההפרש $\displaystyle 2d$ .

ההוכחה בכל מקרה: ההפרש בין שני איברים עוקבים של הסדרה החדשה הוא אותו מספר לכל $\displaystyle n$ .

פעולה שמקלקלת

הסדרה $\displaystyle a_n^2$ אינה חשבונית בדרך כלל. דוגמה נגדית: מ- $\displaystyle 1, 2, 3$ מקבלים $\displaystyle 1, 4, 9$ , וההפרשים $\displaystyle 3$ ו- $\displaystyle 5$ אינם שווים.
דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להראות שהטענה “ $\displaystyle a_n^2$ תמיד חשבונית” אינה נכונה.

תת־סדרות

תת־סדרה היא חלק מאיברי הסדרה, בסדר שלהם. בסדרה החשבונית $\displaystyle 3, 7, 11, 15, 19, 23, \ldots$ ( $\displaystyle {d}={4}$ ):

האיברים במקומות האי־זוגיים: $\displaystyle 3, 11, 19, \ldots$ – סדרה חשבונית עם הפרש $\displaystyle 8$ .
האיברים במקומות הזוגיים: $\displaystyle 7, 15, 23, \ldots$ – סדרה חשבונית עם הפרש $\displaystyle 8$ .
סכום האיברים במקומות האי־זוגיים מבין 20 האיברים הראשונים: 10 איברים, $\displaystyle {\frac{10\left[2\cdot3+9\cdot8\right]}{2}}={390}$ .

סדרה משתי סדרות חשבוניות

הסדרה $\displaystyle 1, 10, 3, 8, 5, 6, 7, 4, \ldots$ אינה חשבונית, אבל היא משלבת שתי סדרות חשבוניות:

במקומות האי־זוגיים $\displaystyle 1, 3, 5, 7, \ldots$ – הפרש $\displaystyle 2$ ;
במקומות הזוגיים $\displaystyle 10, 8, 6, 4, \ldots$ – הפרש $\displaystyle -2$ .

סכום 20 האיברים הראשונים הוא סכום 10 איברים מכל סדרה:

$\displaystyle {\frac{10\left[2\cdot1+9\cdot2\right]}{2}}={100}$ ;
$\displaystyle {\frac{10\left[2\cdot10+9\cdot(-2)\right]}{2}}={10}$ ;
יחד: $\displaystyle 110$ .

תרגיל 1

$\displaystyle a_n$ סדרה חשבונית עם הפרש $\displaystyle {d}={4}$ .
אילו מהסדרות הבאות חשבוניות? לכל סדרה חשבונית כתבו את ההפרש שלה, ולכל אחרת – דוגמה נגדית.

$\displaystyle a_n-7$
$\displaystyle -2a_n$
$\displaystyle a_{3n}$
$\displaystyle \frac{a_n}{5}$
$\displaystyle a_n^2$

תרגיל 2

$\displaystyle {a_n}={a_1+(n-1)d}$ סדרה חשבונית, ו- $\displaystyle {b_n}={a_{2n}}$ .
פשטו את $\displaystyle b_{n+1}-b_n$ , והסבירו מה זה מוכיח.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

הסדרה: $\displaystyle 50, 1, 47, 4, 44, 7, \ldots$ (במקומות האי־זוגיים סדרה חשבונית אחת, ובזוגיים – אחרת).

חשבו את $\displaystyle a_{30}$ .

חשבו את $\displaystyle a_{31}$ .

חשבו את סכום 30 האיברים הראשונים.

תרגיל 4

בסדרה חשבונית יש 40 איברים.
סכום האיברים במקומות האי־זוגיים הוא 600, וסכום האיברים במקומות הזוגיים 640.
מצאו את $\displaystyle a_1$ ואת $\displaystyle d$ .

\displaystyle a_1

\displaystyle d

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$