בעיות בסדרה חשבונית

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 8 מתוך 23לימוד

בעיות בסדרה חשבונית

דוגמה: אולם קולנוע

בשורה הראשונה של אולם קולנוע 20 מושבים, ובכל שורה 5 מושבים יותר מבשורה שלפניה.
באולם 1,125 מושבים.
כמה שורות יש באולם?

מספרי המושבים בשורות הם סדרה חשבונית: $\displaystyle {a_1}={20}$ , $\displaystyle {d}={5}$ .
סכום המושבים ב- $\displaystyle n$ שורות: $\displaystyle {\frac{n\left[40+5(n-1)\right]}{2}}={1125}$ .
$\displaystyle {n(5n+35)}={2250}$ , כלומר $\displaystyle {n^2+7n-450}={0}$ , ולכן $\displaystyle {n}={\frac{-7\pm43}{2}}$ : $\displaystyle {n}={18}$ (הפתרון השלילי נפסל).
באולם 18 שורות, ובשורה האחרונה $\displaystyle {20+17\cdot5}={105}$ מושבים.

דוגמה: משכורת

משכורת התחלתית היא 4,000 ₪ לחודש, ובכל חודש היא עולה ב-20 ₪.

המשכורת בחודש $\displaystyle n$ : $\displaystyle 4000+20(n-1)$ .
היא תגיע ל-5,000 ₪ כש- $\displaystyle {20(n-1)}={1000}$ , כלומר $\displaystyle {n}={51}$ : בחודש ה-51.
בשנה הראשונה תרוויחו $\displaystyle {\frac{12\left[8000+11\cdot20\right]}{2}}={49{,}320}$ ₪.

דוגמה: שני מטיילים

שני מטיילים יוצאים באותו בוקר זה לקראת זה, ממקומות שהמרחק ביניהם 186 ק"מ.
הראשון הולך 20 ק"מ בכל יום.
השני הולך 6 ק"מ ביום הראשון, ובכל יום 2 ק"מ יותר מביום שלפניו.
אחרי כמה ימים ייפגשו?

אחרי $\displaystyle n$ ימים הראשון הלך $\displaystyle 20n$ ק"מ, והשני $\displaystyle {\frac{n\left[12+2(n-1)\right]}{2}}={n(n+5)}$ ק"מ.
הם נפגשים כשיחד הלכו את כל המרחק: $\displaystyle {20n+n(n+5)}={186}$ , כלומר $\displaystyle {n^2+25n-186}={0}$ .
$\displaystyle {(n-6)(n+31)}={0}$ , ולכן $\displaystyle {n}={6}$ : הם ייפגשו בסוף היום השישי.

תרגיל 1

בשורה הראשונה של אולם 16 כיסאות, ובכל שורה 2 כיסאות יותר מבשורה שלפניה.

כמה כיסאות יש ב-30 השורות הראשונות?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

באולם 700 כיסאות. כמה שורות יש בו?

תרגיל 2

בגרם מדרגות כל מדרגה גבוהה 17.5 ס"מ ועמוקה 26 ס"מ.
את הקיר שמתחת למדרגות, מהרצפה ועד המדרגות, צובעים.
הקיר מתחת למדרגה הראשונה הוא מלבן של 26 על 17.5 ס"מ, מתחת לשנייה – 26 על 35 ס"מ, וכן הלאה.
מהו שטח הקיר מתחת ל-15 מדרגות, בסמ"ר?

תרגיל 3

בערמה של בולי עץ יש בשורה העליונה 3 בולים, ובכל שורה בול אחד יותר מבשורה שמעליה.
בערמה 150 בולים.
כמה שורות יש בערמה, וכמה בולים בשורה התחתונה?

מספר השורות

בשורה התחתונה

תרגיל 4

חשבו את סכום כל המספרים הזוגיים מ-2 עד 100, ואת סכום המספרים בין 1 ל-100 שמתחלקים ב-3.

תרגיל 5

משכורת התחלתית היא 6,000 ₪, ובכל חודש היא עולה ב-30 ₪.
אחרי כמה חודשים יהיה סך כל המשכורות 125,700 ₪?

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$