הסדרה החשבונית

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 4 מתוך 23לימוד

הסדרה החשבונית

הפרש קבוע

בסדרה חשבונית כל איבר גדול מהאיבר שלפניו באותו מספר, $\displaystyle d$ – הפרש הסדרה:

\displaystyle a_{n+1}

\displaystyle =

\displaystyle a_n+d

$\displaystyle 5, 8, 11, 14, \ldots$ היא סדרה חשבונית עם $\displaystyle {a_1}={5}$ ו- $\displaystyle {d}={3}$ .
$\displaystyle 20, 16, 12, \ldots$ היא סדרה חשבונית עם $\displaystyle {d}={-4}$ : הסדרה יורדת.
$\displaystyle 7, 7, 7, \ldots$ היא סדרה חשבונית עם $\displaystyle {d}={0}$ : סדרה קבועה.

האיבר הכללי

מהאיבר הראשון עד האיבר שבמקום $\displaystyle n$ יש $\displaystyle n-1$ צעדים, ובכל צעד מוסיפים $\displaystyle d$ :

\displaystyle a_n

\displaystyle =

\displaystyle a_1+(n-1)d

בסדרה $\displaystyle 5, 8, 11, \ldots$ :

$\displaystyle {a_{30}}={5+29\cdot3}={92}$ .
הנוסחה לפי מקום: $\displaystyle {a_n}={5+(n-1)\cdot3}={3n+2}$ .

הגרף של סדרה חשבונית

הנוסחה $\displaystyle {a_n}={3n+2}$ היא פונקציה קווית של $\displaystyle n$ . לכן הנקודות $\displaystyle (n, a_n)$ נמצאות על הישר $\displaystyle {y}={3x+2}$ (המקווקו), והשיפוע שלו הוא ההפרש $\displaystyle {d}={3}$ :

\displaystyle (1,5)

\displaystyle (2,8)

\displaystyle (3,11)

\displaystyle (4,14)

\displaystyle (5,17)

\displaystyle (6,20)

\displaystyle y=3x+2

הממוצע של השכנים

בסדרה חשבונית כל איבר (חוץ מהראשון) הוא הממוצע החשבוני של שני שכניו – ומכאן השם “סדרה חשבונית”:

\displaystyle a_n

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

\displaystyle n\geq2

השכן שאחריו גדול ממנו ב- $\displaystyle d$ , והשכן שלפניו קטן ממנו ב- $\displaystyle d$ , ולכן הממוצע שלהם הוא האיבר עצמו.
שלושה מספרים $\displaystyle x, y, z$ (בסדר הזה) הם איברים סמוכים בסדרה חשבונית בדיוק כש- $\displaystyle {2y}={x+z}$ .

המקום של איבר ומספר האיברים

בסדרה $\displaystyle 12, 19, 26, \ldots$ ( $\displaystyle {a_1}={12}$ , $\displaystyle {d}={7}$ ):

האם 404 הוא איבר? $\displaystyle {12+(n-1)\cdot7}={404}$ , כלומר $\displaystyle {(n-1)\cdot7}={392}$ , $\displaystyle {n-1}={56}$ ו- $\displaystyle {n}={57}$ : 404 הוא האיבר ה-57.
האם 100 הוא איבר? $\displaystyle {12+(n-1)\cdot7}={100}$ נותן $\displaystyle {n-1}={\frac{88}{7}}$ , שאינו מספר שלם: 100 אינו איבר.
בסדרה הסופית $\displaystyle 12, 19, 26, \ldots, 404$ יש 57 איברים: מספר האיברים הוא המקום של האיבר האחרון.

הוכחה ודוגמה נגדית

כדי להוכיח שסדרה חשבונית, מראים ש- $\displaystyle a_{n+1}-a_n$ הוא אותו מספר לכל $\displaystyle n$ . בסדרה $\displaystyle {a_n}={7-2n}$ : $\displaystyle {a_{n+1}-a_n}={(7-2(n+1))-(7-2n)}={-2}$ , ולכן הסדרה חשבונית ו- $\displaystyle {d}={-2}$ .
כדי להראות שסדרה אינה חשבונית מספיקה דוגמה נגדית אחת: שני הפרשים שאינם שווים. בסדרה $\displaystyle {a_n}={n^2}$ : $\displaystyle {a_2-a_1}={3}$ אבל $\displaystyle {a_3-a_2}={5}$ .
בדיקה של כמה איברים, ואפילו של אלף איברים במחשבון, אינה הוכחה שהסדרה חשבונית.

תרגיל 1

הסדרה החשבונית: $\displaystyle 7, 11, 15, \ldots$
חשבו את $\displaystyle a_{40}$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={5-3n}$ .
הוכיחו שהסדרה חשבונית, ומצאו את ההפרש שלה.

תרגיל 3

כמה איברים יש בסדרה החשבונית $\displaystyle 3, 10, 17, \ldots, 248$ ?

תרגיל 4

המספרים $\displaystyle x+1$ , $\displaystyle 3x$ , $\displaystyle 4x+2$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית.
מצאו את $\displaystyle x$ ואת שלושת האיברים.

תרגיל 5

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={n^2+1}$ .
האם הסדרה חשבונית? נמקו.

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$