דלג לתוכן

הסכום של סדרה חשבונית

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 6 מתוך 23לימוד

הסכום של סדרה חשבונית

הסכום פעמיים

כדי לחשב את 1+2+3+…+100\displaystyle 1+2+3+\ldots+100, נכתוב את הסכום פעמיים – פעם מההתחלה ופעם מהסוף – ונחבר אותם, מספר מתחת למספר:

S=1+2+3+…+100S=100+99+98+…+12S=101+101+101+…+101\begin{aligned}S&=1+2+3+\ldots+100\\S&=100+99+98+\ldots+1\\2S&=101+101+101+\ldots+101\end{aligned}
  • בכל עמודה הסכום 101, ויש 100 עמודות: 2S=100⋅101\displaystyle {2S}={100\cdot101}.
  • S=5050\displaystyle {S}={5050}.
סכום n\displaystyle n האיברים הראשונים

אותו הרעיון עובד בכל סדרה חשבונית: בשורה העליונה האיברים עולים ב-d\displaystyle d, בתחתונה יורדים ב-d\displaystyle d, ולכן בכל עמודה אותו הסכום, a1+an\displaystyle a_1+a_n. יש n\displaystyle n עמודות:

Sn\displaystyle S_n =\displaystyle = n(a1+an)2\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}

נציב an=a1+(n−1)d\displaystyle {a_n}={a_1+(n-1)d}, ונקבל צורה שאין בה an\displaystyle a_n:

Sn\displaystyle S_n =\displaystyle = n[2a1+(n−1)d]2\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}

Sn\displaystyle S_n הוא n\displaystyle n כפול הממוצע של האיבר הראשון והאחרון.

מדרגות שיוצרות מלבן

nn+1

זו אותה הוכחה בציור: מדרגות של 1+2+…+n\displaystyle 1+2+\ldots+n משבצות, ועוד עותק הפוך שלהן, יוצרים מלבן של n\displaystyle n על n+1\displaystyle n+1 משבצות. לכן 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle {1+2+\ldots+n}={\frac{n(n+1)}{2}}.

סדרת הסכומים החלקיים

הסכומים S1,S2,S3,…\displaystyle S_1, S_2, S_3, \ldots הם סדרה בעצמה – סדרת הסכומים החלקיים. בסדרה 1,3,5,…\displaystyle 1, 3, 5, \ldots:

  • Sn=n[2+(n−1)⋅2]2=n2\displaystyle {S_n}={\frac{n\left[2+(n-1)\cdot2\right]}{2}}={n^2}: הסכומים 1,4,9,16,…\displaystyle 1, 4, 9, 16, \ldots
  • בכל סדרה חשבונית Sn=d2n2+(a1−d2)n\displaystyle {S_n}={\frac{d}{2}n^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n}: פונקציה ריבועית של n\displaystyle n בלי מקדם חופשי (כש-d≠0\displaystyle d\neq0).
  • לכן הנקודות (n,Sn)\displaystyle (n, S_n) נמצאות על פרבולה שעוברת בראשית הצירים:
(1,1)\displaystyle (1,1)
(2,4)\displaystyle (2,4)
(3,9)\displaystyle (3,9)
(4,16)\displaystyle (4,16)
(5,25)\displaystyle (5,25)
y=x2\displaystyle y=x^{2}
מספר האיברים מהסכום

כמה איברים של הסדרה 5,8,11,…\displaystyle 5, 8, 11, \ldots צריך לחבר כדי לקבל 220?

  • n[10+(n−1)⋅3]2=220\displaystyle {\frac{n\left[10+(n-1)\cdot3\right]}{2}}={220}, כלומר n(3n+7)=440\displaystyle {n(3n+7)}={440}, ולכן 3n2+7n−440=0\displaystyle {3n^2+7n-440}={0}.
  • n=−7±49+52806=−7±736\displaystyle {n}={\frac{-7\pm\sqrt{49+5280}}{6}}={\frac{-7\pm73}{6}}: n=11\displaystyle {n}={11} או n=−403\displaystyle {n}={-\frac{40}{3}}.
  • n\displaystyle n טבעי, ולכן צריך 11 איברים. כשהמשוואה אינה נותנת n\displaystyle n טבעי, אין מספר איברים שסכומם בדיוק המספר הנתון.
האיבר מהסכום

Sn\displaystyle S_n הוא Sn−1\displaystyle S_{n-1} ועוד האיבר ה-n\displaystyle n. לכן מהסכומים אפשר למצוא את האיברים:

an\displaystyle a_n =\displaystyle = Sn−Sn−1\displaystyle S_n-S_{n-1}n≥2\displaystyle n\geq2

ו-a1=S1\displaystyle {a_1}={S_1}. אם Sn=2n2+3n\displaystyle {S_n}={2n^2+3n}:

  • an=(2n2+3n)−(2(n−1)2+3(n−1))=4n+1\displaystyle {a_n}={(2n^2+3n)-\left(2(n-1)^2+3(n-1)\right)}={4n+1}, ו-a1=S1=5\displaystyle {a_1}={S_1}={5} מתאים לנוסחה.
  • an+1−an=4\displaystyle {a_{n+1}-a_n}={4}: הסדרה חשבונית.
תרגיל 1

הסכום: 4+9+14+…+99\displaystyle 4+9+14+\ldots+99.

א

כמה מחוברים יש בסכום?

    ב

    חשבו את הסכום.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      חשבו את סכום כל המספרים הדו־ספרתיים שמתחלקים ב-3.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 3

        בסדרה חשבונית a1=−20\displaystyle {a_1}={-20} ו-d=3\displaystyle {d}={3}.
        מאיזה מספר של איברים הסכום Sn\displaystyle S_n חיובי? פתרו אי־שוויון, וכתבו את התשובה.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 4

            סכום n\displaystyle n האיברים הראשונים של סדרה: Sn=3n2−n\displaystyle {S_n}={3n^2-n}.

            א
            an=\displaystyle {a_n}={}

            מצאו את an\displaystyle a_n.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              הוכיחו שהסדרה חשבונית. (בדקו גם את a1\displaystyle a_1.)

              תרגיל 5

              האם יש מספר איברים של הסדרה 5,8,11,…\displaystyle 5, 8, 11, \ldots שסכומם בדיוק 500? פתרו משוואה, והסבירו.