האיבר הראשון וההפרש

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 5 מתוך 23לימוד

האיבר הראשון וההפרש

שני נתונים, שתי משוואות

כל איבר של סדרה חשבונית נקבע מ- $\displaystyle a_1$ ומ- $\displaystyle d$ . לכן שני נתונים על הסדרה נותנים מערכת של שתי משוואות.

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_4}={17}$ ו- $\displaystyle {a_{11}}={45}$ :

$\displaystyle {a_1+3d}={17}$ ו- $\displaystyle {a_1+10d}={45}$ .
נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה: $\displaystyle {7d}={28}$ , ולכן $\displaystyle {d}={4}$ .
$\displaystyle {a_1}={17-3\cdot4}={5}$ .

מערכת עם משוואה ריבועית

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_3}={7}$ , והמכפלה $\displaystyle a_2\cdot a_5$ היא 55.

נכתוב את האיברים בעזרת $\displaystyle a_3$ : $\displaystyle {a_2}={7-d}$ ו- $\displaystyle {a_5}={7+2d}$ .
$\displaystyle {(7-d)(7+2d)}={55}$ , כלומר $\displaystyle {49+7d-2d^2}={55}$ , ולכן $\displaystyle {2d^2-7d+6}={0}$ .
$\displaystyle {d}={2}$ או $\displaystyle {d}={1.5}$ .
לכל פתרון סדרה משלה: $\displaystyle {d}={2}$ נותן $\displaystyle {a_1}={7-2\cdot2}={3}$ , ו- $\displaystyle {d}={1.5}$ נותן $\displaystyle {a_1}={4}$ .
בדיקה: $\displaystyle {5\cdot11}={55}$ וגם $\displaystyle {5.5\cdot10}={55}$ .

שלושה איברים סמוכים

שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית נוח לכתוב כ- $\displaystyle a-d$ , $\displaystyle a$ , $\displaystyle a+d$ : בסכום שלהם $\displaystyle d$ מתבטל.

סכום שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית הוא 15, ומכפלתם 80.

$\displaystyle {(a-d)+a+(a+d)}={3a}={15}$ , ולכן $\displaystyle {a}={5}$ .
$\displaystyle {(5-d)\cdot5\cdot(5+d)}={80}$ , כלומר $\displaystyle {25-d^2}={16}$ , ולכן $\displaystyle {d}={3}$ או $\displaystyle {d}={-3}$ .
המספרים: $\displaystyle 2, 5, 8$ או $\displaystyle 8, 5, 2$ .

תרגיל 1

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_5}={23}$ ו- $\displaystyle {a_{12}}={58}$ .
מצאו את $\displaystyle a_1$ ואת $\displaystyle d$ .

תרגיל 2

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_7}={3a_2}$ ו- $\displaystyle {a_{10}}={42}$ .
כתבו מערכת משוואות ב- $\displaystyle a_1$ וב- $\displaystyle d$ , ופתרו אותה.

תרגיל 3

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_2+a_6}={26}$ ו- $\displaystyle {a_3\cdot a_5}={160}$ .
מצאו את $\displaystyle a_1$ ואת $\displaystyle d$ . (שני פתרונות.)

תרגיל 4

סכום שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית הוא 21, וסכום הריבועים שלהם 155.
נסמן את האיברים $\displaystyle 7-d$ , $\displaystyle 7$ , $\displaystyle 7+d$ . מצאו את $\displaystyle d$ ואת המספרים.

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$