הממוצע ההנדסי, האיבר הראשון והמנה

בסדרה הנדסית $\displaystyle {a_{n-1}}={\frac{a_n}{q}}$ ו-$\displaystyle {a_{n+1}}={a_n\cdot q}$, ולכן המכפלה שלהם היא $\displaystyle a_n^2$:

• כשהאיברים חיוביים, $\displaystyle {a_n}={\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}$: האיבר הוא הממוצע ההנדסי של שכניו.
• בסדרה $\displaystyle 4, 6, 9$: $\displaystyle {6^2}={36}={4\cdot9}$.

מהמנה של שני איברים מקבלים חזקה של $\displaystyle q$:

• $\displaystyle {a_3}={12}$ ו-$\displaystyle {a_6}={96}$: $\displaystyle {\frac{a_6}{a_3}}={q^3}={8}$, ולכן $\displaystyle {q}={2}$ ו-$\displaystyle {a_1}={\frac{12}{4}}={3}$.
• $\displaystyle {a_2}={8}$ ו-$\displaystyle {a_4}={32}$: $\displaystyle {q^2}={4}$, ולכן $\displaystyle {q}={2}$ או $\displaystyle {q}={-2}$ – שתי סדרות: $\displaystyle 4, 8, 16, 32, \ldots$ ו-$\displaystyle -4, 8, -16, 32, \ldots$
• חזקה זוגית של $\displaystyle q$ נותנת שני פתרונות, וחזקה אי־זוגית – פתרון אחד.

בסדרה הנדסית סכום האיבר הראשון והשלישי הוא 50, וסכום השני והרביעי 150.

• $\displaystyle {a_1+a_1q^2}={50}$ ו-$\displaystyle {a_1q+a_1q^3}={150}$.
• המשוואה השנייה היא $\displaystyle {q\cdot(a_1+a_1q^2)}={150}$, כלומר $\displaystyle {q\cdot50}={150}$, ולכן $\displaystyle {q}={3}$.
• $\displaystyle {a_1(1+9)}={50}$, ולכן $\displaystyle {a_1}={5}$: הסדרה $\displaystyle 5, 15, 45, 135, \ldots$

שלושה איברים סמוכים בסדרה הנדסית נוח לכתוב כ-$\displaystyle \frac{b}{q}$, $\displaystyle b$, $\displaystyle bq$: במכפלה שלהם $\displaystyle q$ מתבטל.

מכפלת שלושה איברים סמוכים היא 216, וסכומם 26.

• $\displaystyle {\frac{b}{q}\cdot b\cdot bq}={b^3}={216}$, ולכן $\displaystyle {b}={6}$.
• $\displaystyle {\frac{6}{q}+6+6q}={26}$, כלומר $\displaystyle {6q^2-20q+6}={0}$, ולכן $\displaystyle {q}={3}$ או $\displaystyle {q}={\frac{1}{3}}$.
• המספרים: $\displaystyle 2, 6, 18$ או $\displaystyle 18, 6, 2$.

בסדרה הנדסית $\displaystyle {a_2}={6}$ ו-$\displaystyle {a_5}={162}$.
מצאו את $\displaystyle a_1$ ואת $\displaystyle q$.

בסדרה הנדסית $\displaystyle {a_3}={18}$ ו-$\displaystyle {a_5}={162}$.
מצאו את $\displaystyle a_1$ ואת $\displaystyle q$ (שתי סדרות).

המספרים $\displaystyle x$, $\displaystyle x+6$, $\displaystyle 9x$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים סמוכים בסדרה הנדסית.
מצאו את $\displaystyle x$ (שני פתרונות), ולכל פתרון את המנה.

מכפלת שלושה איברים סמוכים בסדרה הנדסית היא 1,000, וסכומם 35.
נסמן אותם $\displaystyle \frac{10}{q}$, $\displaystyle 10$, $\displaystyle 10q$. מצאו את $\displaystyle q$ ואת המספרים.

בסדרה הנדסית סכום האיבר השני והשלישי הוא 36, וסכום השלישי והרביעי 108.
מצאו את $\displaystyle a_1$ ואת $\displaystyle q$.