פעולות על סדרה הנדסית ותת־סדרות

$\displaystyle a_n$ סדרה הנדסית עם מנה $\displaystyle q$. הסדרות האלה הנדסיות גם הן:

• $\displaystyle k\cdot a_n$ ($\displaystyle k\neq0$): המנה נשארת $\displaystyle q$.
• $\displaystyle a_n^2$: $\displaystyle {\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}}={q^2}$.
• $\displaystyle \frac{1}{a_n}$: המנה $\displaystyle \frac{1}{q}$.
• $\displaystyle a_{2n}$, האיברים במקומות הזוגיים: ביניהם שני צעדים, והמנה $\displaystyle q^2$.
• $\displaystyle a_n\cdot b_n$, כש-$\displaystyle b_n$ סדרה הנדסית עם מנה $\displaystyle p$: המנה $\displaystyle q\cdot p$.

ההוכחה בכל מקרה: המנה של שני איברים עוקבים של הסדרה החדשה היא אותו מספר לכל $\displaystyle n$.

הוספת מספר לכל איבר מקלקלת סדרה הנדסית: מ-$\displaystyle 1, 2, 4$ מקבלים $\displaystyle 2, 3, 5$, והמנות $\displaystyle \frac{3}{2}$ ו-$\displaystyle \frac{5}{3}$ אינן שוות.

אם $\displaystyle a_n$ סדרה חשבונית עם הפרש $\displaystyle d$, אז $\displaystyle {b_n}={2^{a_n}}$ סדרה הנדסית:

• ההפרש הקבוע במעריך הופך למנה קבועה.
• מ-$\displaystyle 1, 3, 5, 7, \ldots$ מקבלים $\displaystyle 2, 8, 32, 128, \ldots$, עם מנה $\displaystyle {2^2}={4}$.

הסדרה $\displaystyle 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27, 16, \ldots$ משלבת שתי סדרות הנדסיות:

• במקומות האי־זוגיים $\displaystyle 1, 3, 9, 27, \ldots$ – מנה $\displaystyle 3$;
• במקומות הזוגיים $\displaystyle 2, 4, 8, 16, \ldots$ – מנה $\displaystyle 2$.

סכום 12 האיברים הראשונים: 6 איברים מכל סדרה,

$\displaystyle a_n$ סדרה הנדסית עם מנה $\displaystyle {q}={-2}$.
אילו מהסדרות הבאות הנדסיות? לכל סדרה הנדסית כתבו את המנה שלה, ולכל אחרת – דוגמה נגדית.

• $\displaystyle 5a_n$
• $\displaystyle a_n^2$
• $\displaystyle a_n+1$
• $\displaystyle a_{3n}$
• $\displaystyle \frac{1}{a_n}$

$\displaystyle {a_n}={a_1q^{n-1}}$ סדרה הנדסית, ו-$\displaystyle {b_n}={a_n\cdot a_{n+1}}$.
פשטו את $\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}$, והסבירו מה זה מוכיח.

הסדרה: $\displaystyle 2, 1, 6, 4, 18, 16, \ldots$ (במקומות האי־זוגיים סדרה הנדסית אחת, ובזוגיים – אחרת).

חשבו את $\displaystyle a_{11}$.

חשבו את $\displaystyle a_{12}$.

חשבו את סכום 12 האיברים הראשונים.

בסדרה הנדסית של 8 איברים, סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול פי 3 מסכום האיברים במקומות האי־זוגיים.

הסבירו למה $\displaystyle {q}={3}$. (רמז: $\displaystyle {a_2}={a_1q}$, $\displaystyle {a_4}={a_3q}$, …)

סכום כל 8 האיברים הוא 6,560. מצאו את $\displaystyle a_1$.