בעיות גדילה ודעיכה

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 15 מתוך 23לימוד

בעיות גדילה ודעיכה

דוגמה: ריבית דריבית

מפקידים 10,000 ₪ בריבית של 3% לשנה, והריבית מצטרפת לקרן.

בכל שנה הסכום מוכפל ב- $\displaystyle 1.03$ : אחרי $\displaystyle n$ שנים יש $\displaystyle 10000\cdot1.03^n$ ₪ – סדרה הנדסית עם $\displaystyle {q}={1.03}$ .
אחרי 10 שנים: $\displaystyle 10000\cdot1.03^{10}\approx13{,}439$ ₪.
מתי הסכום יוכפל? בניסוי וטעייה: $\displaystyle 1.03^{23}\approx1.97$ ו- $\displaystyle 1.03^{24}\approx2.03$ – אחרי 24 שנים.

דוגמה: שתי הצעות שכר

שתי הצעות, שתיהן מתחילות ב-4,000 ₪ לחודש:

א’ – בכל חודש המשכורת עולה ב-20 ₪: סדרה חשבונית, $\displaystyle {d}={20}$ .
ב’ – בכל חודש המשכורת עולה ב-0.25%: סדרה הנדסית, $\displaystyle {q}={1.0025}$ .

בשנה הראשונה:

המשכורת בחודש ה-12: א’ – $\displaystyle {4000+11\cdot20}={4220}$ ₪; ב’ – $\displaystyle 4000\cdot1.0025^{11}\approx4111$ ₪.
הסכום בשנה: א’ – $\displaystyle {\frac{12(8000+220)}{2}}={49{,}320}$ ₪; ב’ – $\displaystyle \frac{4000(1.0025^{12}-1)}{0.0025}\approx48{,}666$ ₪.

בהתחלה התוספת של ב’ (10 ₪) קטנה מזו של א’, אבל היא גדלה מחודש לחודש. בטווח ארוך מאוד ההצעה ההנדסית עוקפת – מה עדיף תלוי בכמה זמן תעבדו.

דוגמה: כדור קופץ

כדור נופל מגובה 10 מ’. אחרי כל פגיעה ברצפה הוא עולה ל-60% מהגובה שלפניה, ונופל שוב.
איזו דרך יעבור הכדור עד שייעצר?

הנפילה הראשונה: 10 מ'.
אחריה כל קפיצה היא עלייה וירידה של אותו גובה: $\displaystyle 6, 3.6, 2.16, \ldots$ – סדרה הנדסית אינסופית עם $\displaystyle {q}={0.6}$ .
הדרך כולה: $\displaystyle {10+2\cdot\frac{6}{1-0.6}}={10+30}={40}$ מ'.

תרגיל 1

במעבדה 500 חיידקים, ומספרם מוכפל בכל שעה.

כמה חיידקים יהיו אחרי 6 שעות?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

אחרי כמה שעות שלמות יעבור מספרם 100,000? מצאו בניסוי וטעייה.

תרגיל 2

לפי האגדה, ממציא השחמט ביקש גרגר אורז אחד על המשבצת הראשונה של הלוח, 2 על השנייה, 4 על השלישית, וכך הלאה – פי 2 בכל משבצת.
בלוח 64 משבצות.
כתבו את מספר הגרגרים בכל הלוח כחזקה של 2 פחות מספר.

תרגיל 3

מכונית שקנו ב-120,000 ₪ מאבדת בכל שנה 15% מערכה.
מה יהיה ערכה אחרי 5 שנים? עגלו לשקלים.

תרגיל 4

קבוצת קנטור. לוקחים את הקטע מ-0 עד 1, ומסירים ממנו את השליש האמצעי. מכל אחד משני הקטעים שנותרו מסירים את השליש האמצעי, וכך הלאה בלי סוף.

$\displaystyle b_n$ הוא מספר הקטעים שנותרו אחרי שלב $\displaystyle n$ . כתבו כלל נסיגה ונוסחה לפי מקום.

בשלב $\displaystyle n$ מסירים $\displaystyle 2^{n-1}$ קטעים, כל אחד באורך $\displaystyle \frac{1}{3^n}$ . מהו סכום האורכים שמסירים בכל השלבים יחד?

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$