הסדרה ההנדסית

בסדרה הנדסית כל איבר הוא האיבר שלפניו כפול אותו מספר, $\displaystyle q$ – מנת הסדרה:

• $\displaystyle 3, 6, 12, 24, \ldots$ היא סדרה הנדסית עם $\displaystyle {a_1}={3}$ ו-$\displaystyle {q}={2}$.
• $\displaystyle {\frac{a_{n+1}}{a_n}}={q}$ לכל $\displaystyle n$: המנה של כל שני איברים סמוכים היא אותו מספר.
• בסדרה הנדסית $\displaystyle a_1\neq0$ ו-$\displaystyle q\neq0$, ולכן אף איבר אינו 0.

בסדרה הנדסית כופלים שוב ושוב באותו מספר, ולכן עובדים בה עם חזקות. החוקים, לכל מעריכים שלמים $\displaystyle m$, $\displaystyle n$:

החוק השני מסביר מעריך 0 ומעריך שלילי:

• $\displaystyle {\frac{a^3}{a^3}}={a^0}$, ו-$\displaystyle {\frac{a^3}{a^3}}={1}$, ולכן $\displaystyle {a^0}={1}$.
• $\displaystyle {\frac{a^2}{a^5}}={a^{-3}}$, ו-$\displaystyle {\frac{a^2}{a^5}}={\frac{1}{a^3}}$, ולכן $\displaystyle {a^{-3}}={\frac{1}{a^3}}$.

מהאיבר הראשון עד המקום $\displaystyle n$ כופלים ב-$\displaystyle q$ בדיוק $\displaystyle n-1$ פעמים:

• בסדרה $\displaystyle 3, 6, 12, \ldots$: $\displaystyle {a_{10}}={3\cdot2^9}={1536}$.
• בסדרה $\displaystyle 48, 24, 12, \ldots$ ($\displaystyle {q}={\frac{1}{2}}$): $\displaystyle {a_n}={48\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}={48\cdot2^{1-n}}$.

המנה קובעת איך הסדרה מתנהגת (כש-$\displaystyle a_1>0$):

• $\displaystyle q>1$: הסדרה עולה, ומהר יותר ויותר – $\displaystyle 3, 6, 12, 24, \ldots$
• $\displaystyle 0<q<1$: הסדרה יורדת, והאיברים מתקרבים ל-0 – $\displaystyle 48, 24, 12, 6, \ldots$
• $\displaystyle q<0$: הסימנים מתחלפים – $\displaystyle 8, -4, 2, -1, \ldots$ ($\displaystyle {q}={-\frac{1}{2}}$), כמו בגרף:

באיזה מקום בסדרה $\displaystyle 3, 6, 12, \ldots$ נמצא האיבר 384?

• $\displaystyle {3\cdot2^{n-1}}={384}$, כלומר $\displaystyle {2^{n-1}}={128}$.
• ננסה חזקות של 2: $\displaystyle {2^7}={128}$, ולכן $\displaystyle {n-1}={7}$ ו-$\displaystyle {n}={8}$.

ומהו האיבר הראשון שגדול מ-1,000?

• $\displaystyle 3\cdot2^{n-1}>1000$, כלומר $\displaystyle 2^{n-1}>333.3$.
• $\displaystyle {2^8}={256}$ קטן מדי, ו-$\displaystyle {2^9}={512}$ מספיק: $\displaystyle {n-1}={9}$, $\displaystyle {n}={10}$.
• $\displaystyle {a_{10}}={1536}$ הוא האיבר הראשון שגדול מ-1,000, ו-$\displaystyle {a_9}={768}$ עוד לא.

חשבו.

$\displaystyle a_7$ בסדרה $\displaystyle 2, 6, 18, \ldots$

$\displaystyle a_7$ בסדרה $\displaystyle 4096, 1024, 256, \ldots$

חשבו בעזרת חוקי החזקות.

באיזה מקום בסדרה $\displaystyle 5, 10, 20, \ldots$ נמצא האיבר 640?

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={3\cdot(-2)^n}$.
חשבו את $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$. מה החישוב מוכיח?

בסדרה $\displaystyle \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{9}{4}, \ldots$, מהו האיבר הראשון שגדול מ-100? מצאו בניסוי וטעייה, וכתבו את המקום שלו.