הסכום של סדרה הנדסית

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 12 מתוך 23לימוד

הסכום של סדרה הנדסית

הסכום כפול

\displaystyle q

נכתוב את הסכום, ומתחתיו את הסכום כפול $\displaystyle q$ – כל איבר זז מקום אחד:

\begin{aligned}S_n&=a_1+a_1q+a_1q^2+\ldots+a_1q^{n-1}\\q\cdot S_n&=\phantom{a_1+{}}a_1q+a_1q^2+\ldots+a_1q^{n-1}+a_1q^n\end{aligned}

כשמחסרים, כל האיברים שבאמצע מתבטלים: $\displaystyle {qS_n-S_n}={a_1q^n-a_1}$ .
$\displaystyle {S_n(q-1)}={a_1(q^n-1)}$ , ולכן, כש- $\displaystyle q\neq1$ :

\displaystyle S_n

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}

\displaystyle q\neq1

כש- $\displaystyle {q}={1}$ כל האיברים שווים, ו- $\displaystyle {S_n}={n\cdot a_1}$ .

דוגמה: מספר המחוברים

נחשב את $\displaystyle 3+6+12+\ldots+768$ .

מספר המחוברים: $\displaystyle {3\cdot2^{n-1}}={768}$ , כלומר $\displaystyle {2^{n-1}}={256}={2^8}$ , ולכן $\displaystyle {n}={9}$ .
$\displaystyle {S_9}={\frac{3(2^9-1)}{2-1}}={3\cdot511}={1533}$ .

סימנים מתחלפים

סכום 8 האיברים הראשונים של $\displaystyle 2-6+18-\ldots$ ( $\displaystyle {a_1}={2}$ , $\displaystyle {q}={-3}$ ):

S_8=\frac{2\left((-3)^8-1\right)}{-3-1}=\frac{2\cdot6560}{-4}=-3280

הנוסחה עובדת גם כש- $\displaystyle q$ שלילי: צריך רק סוגריים סביב $\displaystyle -3$ .

כמה איברים כדי לעבור מספר

כמה איברים של $\displaystyle 1+2+4+\ldots$ צריך לחבר כדי שהסכום יעבור 1,000?

$\displaystyle {S_n}={\frac{2^n-1}{2-1}}={2^n-1}$ .
בניסוי וטעייה: $\displaystyle {2^9-1}={511}$ , $\displaystyle {2^{10}-1}={1023}$ .
צריך 10 איברים.

גדילה הנדסית לעומת חשבונית

סדרה חשבונית מוסיפה בכל צעד אותו מספר; סדרה הנדסית עם $\displaystyle q>1$ כופלת בכל צעד באותו מספר, ולכן התוספת שלה גדלה כל הזמן.

$\displaystyle n$	1	5	10	15	20
$\displaystyle 100+50(n-1)$	100	300	550	800	1050
$\displaystyle 1\cdot2^{n-1}$	1	16	512	16384	524288

הסדרה ההנדסית מתחילה הרבה מתחת לחשבונית, ועוקפת אותה כבר באיבר ה-11.

תרגיל 1

חשבו את סכום 10 האיברים הראשונים של $\displaystyle 5, 10, 20, \ldots$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הסכום: $\displaystyle 1+3+9+\ldots+2187$ .

כמה מחוברים יש בסכום?

חשבו את הסכום.

תרגיל 3

חשבו את סכום 8 האיברים הראשונים של $\displaystyle 64-32+16-\ldots$

תרגיל 4

סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים של סדרה: $\displaystyle {S_n}={3^n-1}$ .
מצאו את $\displaystyle a_n$ כ- $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ , והראו שהסדרה הנדסית.

תרגיל 5

כמה איברים של $\displaystyle 2+6+18+\ldots$ צריך לחבר כדי שהסכום יעבור 10,000? מצאו בניסוי וטעייה.

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$