התחלקות

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 20 מתוך 23לימוד

התחלקות

מה זה מתחלק

מספר שלם $\displaystyle a$ מתחלק ב-6 אם $\displaystyle {a}={6m}$ עבור מספר שלם $\displaystyle m$ .

סכום של שני מספרים שמתחלקים ב-6 מתחלק ב-6: $\displaystyle {6m+6p}={6(m+p)}$ .
מכפלה של מספר שמתחלק ב-6 במספר שלם מתחלקת ב-6.

הוכחה:

\displaystyle 7^n-1

מתחלק ב-6

$\displaystyle {7^1-1}={6}$ , $\displaystyle {7^2-1}={48}$ , $\displaystyle {7^3-1}={342}={6\cdot57}$ . בהוכחה שלפניכם נוכיח באינדוקציה ש- $\displaystyle 7^n-1$ מתחלק ב-6 לכל $\displaystyle n$ טבעי. בשלב הצעד נכתוב את $\displaystyle 7^{k+1}-1$ בעזרת $\displaystyle 7^k-1$ :

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {7^1-1}={6}$ מתחלק ב-6	שלב הבסיס
2	$\displaystyle {7^k-1}={6m}$ , $\displaystyle m$ שלם	הנחת האינדוקציה
3	צריך להוכיח: $\displaystyle 7^{k+1}-1$ מתחלק ב-6	הטענה עבור $\displaystyle k+1$
4	$\displaystyle {7^{k+1}-1}={7\cdot7^k-1}={7(7^k-1)+6}$	חוקי החזקות; $\displaystyle {7\cdot(-1)+6}={-1}$
5	$\displaystyle {7(7^k-1)+6}={7\cdot6m+6}={6(7m+1)}$	לפי הנחת האינדוקציה (2); $\displaystyle 7m+1$ שלם, והוכחנו את (3)
6	$\displaystyle 7^n-1$ מתחלק ב-6 לכל $\displaystyle n$ טבעי	שלב ההסקה: עקרון האינדוקציה

דרך שנייה

אותה טענה בלי אינדוקציה, מנוסחת הסכום של סדרה הנדסית ( $\displaystyle {a_1}={1}$ , $\displaystyle {q}={7}$ ):

1+7+7^2+\ldots+7^{n-1}=\frac{7^n-1}{7-1}

לכן $\displaystyle {7^n-1}={6\cdot(1+7+\ldots+7^{n-1})}$ , והסכום בסוגריים שלם. אינדוקציה היא דרך אחת להוכיח; לפעמים יש עוד דרכים.

דוגמה:

\displaystyle n^3+2n

מתחלק ב-3

שלב הבסיס: $\displaystyle {1+2}={3}$ .
שלב הצעד: נניח ש- $\displaystyle {k^3+2k}={3m}$ . אז

(k+1)^3+2(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2=(k^3+2k)+3(k^2+k+1)=3m+3(k^2+k+1)=3(m+k^2+k+1)

שלב ההסקה: לפי עקרון האינדוקציה, $\displaystyle n^3+2n$ מתחלק ב-3 לכל $\displaystyle n$ טבעי.

הרעיון בשלב הצעד: למצוא בתוך הביטוי עבור $\displaystyle k+1$ את הביטוי עבור $\displaystyle k$ , ולהראות שמה שנשאר מתחלק בעצמו.

תרגיל 1

הוכיחו באינדוקציה ש- $\displaystyle 5^n-1$ מתחלק ב-4 לכל $\displaystyle n$ טבעי.

שלב הבסיס

שלב הצעד

כתבו את $\displaystyle 5^{k+1}-1$ בעזרת $\displaystyle 5^k-1$ :

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מה נובע מהשורה האחרונה, ומהי המסקנה?

תרגיל 2

הוכיחו באינדוקציה ש- $\displaystyle 4^n+2$ מתחלק ב-3 לכל $\displaystyle n$ טבעי.

שלב הבסיס

שלב הצעד

כתבו את $\displaystyle 4^{k+1}+2$ בעזרת $\displaystyle 4^k+2$ :

תרגיל 3

הוכיחו באינדוקציה ש- $\displaystyle 11^n-4^n$ מתחלק ב-7 לכל $\displaystyle n$ טבעי. (רמז: $\displaystyle {11^{k+1}}={11\cdot11^k}$ , ו- $\displaystyle {4^{k+1}}={11\cdot4^k-7\cdot4^k}$ .)

שלב הצעד

תרגיל 4

סדרה מוגדרת בכלל הנסיגה $\displaystyle {a_1}={6}$ , $\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+2n^3+3n^2+n}$ .
הוכיחו שכל איברי הסדרה מתחלקים ב-6.

פרקו את $\displaystyle 2k^3+3k^2+k$ לגורמים, והראו – בעזרת נוסחת סכום הריבועים – שהוא מתחלק ב-6.

כתבו את ההוכחה באינדוקציה.

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$