הוכחת נוסחאות סכום

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 18 מתוך 23לימוד

הוכחת נוסחאות סכום

סכום המספרים הטבעיים

בהוכחה שלפניכם נוכיח באינדוקציה ש- $\displaystyle {1+2+\ldots+n}={\frac{n(n+1)}{2}}$ לכל $\displaystyle n$ טבעי. כשעוברים מ- $\displaystyle k$ ל- $\displaystyle k+1$ נוסף לסכום איבר אחד בדיוק, $\displaystyle k+1$ :

	טענה	נימוק
1	עבור $\displaystyle {n}={1}$ : $\displaystyle {1}={\frac{1\cdot2}{2}}$	שלב הבסיס
2	$\displaystyle {1+2+\ldots+k}={\frac{k(k+1)}{2}}$	הנחת האינדוקציה
3	צריך להוכיח: $\displaystyle {1+2+\ldots+k+(k+1)}={\frac{(k+1)(k+2)}{2}}$	הטענה עבור $\displaystyle k+1$
4	$\displaystyle {1+2+\ldots+k+(k+1)}={\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)}$	לפי הנחת האינדוקציה (2)
5	$\displaystyle {\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)}={\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}}$	מכנה משותף
6	$\displaystyle {\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}}={\frac{(k+1)(k+2)}{2}}$	הוצאת הגורם המשותף $\displaystyle k+1$ ; הוכחנו את (3)
7	$\displaystyle {1+2+\ldots+n}={\frac{n(n+1)}{2}}$ לכל $\displaystyle n$ טבעי	שלב ההסקה: עקרון האינדוקציה

איך כותבים את שלב הצעד

כותבים קודם את מה שצריך להוכיח – הטענה עבור $\displaystyle k+1$ . כך יודעים לאן להגיע.
מתחילים מהצד השמאלי עבור $\displaystyle k+1$ , ומזהים בו את הצד השמאלי עבור $\displaystyle k$ : הוא הכול חוץ מהאיבר האחרון.
מציבים במקומו את הצד הימני מההנחה.
מוציאים את הגורם המשותף (כאן $\displaystyle k+1$ ) במקום לפתוח את כל הסוגריים: כך רואים את הצד הימני עבור $\displaystyle k+1$ .

סכום הריבועים

הטענה: $\displaystyle {1^2+2^2+\ldots+n^2}={\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$ לכל $\displaystyle n$ טבעי.

שלב הבסיס: $\displaystyle {1^2}={1}$ ו- $\displaystyle {\frac{1\cdot2\cdot3}{6}}={1}$ .
שלב הצעד: נניח ש- $\displaystyle {1^2+\ldots+k^2}={\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}$ . צריך להוכיח ש- $\displaystyle {1^2+\ldots+k^2+(k+1)^2}={\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$ :

\begin{aligned}1^2+\ldots+k^2+(k+1)^2&=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\&=\frac{(k+1)\left[k(2k+1)+6(k+1)\right]}{6}\\&=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\\&=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\end{aligned}

שלב ההסקה: לפי עקרון האינדוקציה, הנוסחה נכונה לכל $\displaystyle n$ טבעי.

סכום של סדרה הנדסית

הטענה: $\displaystyle {1+2+4+\ldots+2^{n-1}}={2^n-1}$ לכל $\displaystyle n$ טבעי.

שלב הבסיס: $\displaystyle {1}={2^1-1}$ .
שלב הצעד: נניח ש- $\displaystyle {1+2+\ldots+2^{k-1}}={2^k-1}$ . אז $\displaystyle {1+2+\ldots+2^{k-1}+2^k}={(2^k-1)+2^k}={2\cdot2^k-1}={2^{k+1}-1}$ – הטענה עבור $\displaystyle k+1$ .
שלב ההסקה: לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל $\displaystyle n$ טבעי.

זו הוכחה שנייה לנוסחת הסכום של סדרה הנדסית, במקרה $\displaystyle {a_1}={1}$ , $\displaystyle {q}={2}$ .

תרגיל 1

$\displaystyle {1\cdot2+2\cdot3+\ldots+n(n+1)}={\frac{n(n+1)(n+2)}{3}}$
הוכיחו באינדוקציה שהטענה נכונה לכל $\displaystyle n$ טבעי.

שלב הבסיס

בדקו את הטענה עבור $\displaystyle {n}={1}$ .

שלב הצעד

כתבו את הנחת האינדוקציה – הטענה עבור $\displaystyle k$ טבעי כלשהו – ואת מה שצריך להוכיח עבור $\displaystyle k+1$ .

החישוב: התחילו מהביטוי שקיבלתם אחרי שהצבתם את ההנחה, והגיעו למה שצריך להוכיח.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

שלב ההסקה

תרגיל 2

$\displaystyle {1^3+2^3+\ldots+n^3}={\frac{n^2(n+1)^2}{4}}$
הוכיחו באינדוקציה שהטענה נכונה לכל $\displaystyle n$ טבעי.

שלב הבסיס

בדקו את הטענה עבור $\displaystyle {n}={1}$ .

שלב הצעד

כתבו את הנחת האינדוקציה – הטענה עבור $\displaystyle k$ טבעי כלשהו – ואת מה שצריך להוכיח עבור $\displaystyle k+1$ .

החישוב: התחילו מהביטוי שקיבלתם אחרי שהצבתם את ההנחה, והגיעו למה שצריך להוכיח.

שלב ההסקה

תרגיל 3

$\displaystyle {\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}}={\frac{n}{n+1}}$
הוכיחו באינדוקציה שהטענה נכונה לכל $\displaystyle n$ טבעי.

שלב הבסיס

בדקו את הטענה עבור $\displaystyle {n}={1}$ .

שלב הצעד

כתבו את הנחת האינדוקציה – הטענה עבור $\displaystyle k$ טבעי כלשהו – ואת מה שצריך להוכיח עבור $\displaystyle k+1$ .

החישוב: התחילו מהביטוי שקיבלתם אחרי שהצבתם את ההנחה, והגיעו למה שצריך להוכיח.

שלב ההסקה

תרגיל 4

$\displaystyle {1+3+9+\ldots+3^{n-1}}={\frac{3^n-1}{2}}$
הוכיחו באינדוקציה שהטענה נכונה לכל $\displaystyle n$ טבעי.

שלב הבסיס

בדקו את הטענה עבור $\displaystyle {n}={1}$ .

שלב הצעד

כתבו את הנחת האינדוקציה – הטענה עבור $\displaystyle k$ טבעי כלשהו – ואת מה שצריך להוכיח עבור $\displaystyle k+1$ .

החישוב: התחילו מהביטוי שקיבלתם אחרי שהצבתם את ההנחה, והגיעו למה שצריך להוכיח.

שלב ההסקה

תרגיל 5

$\displaystyle {2+5+8+\ldots+(3n-1)}={\frac{n(3n+1)}{2}}$
הוכיחו באינדוקציה שהטענה נכונה לכל $\displaystyle n$ טבעי.

שלב הבסיס

בדקו את הטענה עבור $\displaystyle {n}={1}$ .

שלב הצעד

כתבו את הנחת האינדוקציה – הטענה עבור $\displaystyle k$ טבעי כלשהו – ואת מה שצריך להוכיח עבור $\displaystyle k+1$ .

החישוב: התחילו מהביטוי שקיבלתם אחרי שהצבתם את ההנחה, והגיעו למה שצריך להוכיח.

שלב ההסקה

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$