סדרה הנדסית אינסופית

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 14 מתוך 23לימוד

סדרה הנדסית אינסופית

סכום שמתקרב למספר

נחבר את $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$ – חלקים של ריבוע ששטחו 1:

הסכומים החלקיים: $\displaystyle {S_1}={0.5}$ , $\displaystyle {S_2}={0.75}$ , $\displaystyle {S_3}={0.875}$ , …
כל איבר מכסה חצי ממה שעוד לא כוסה, ולכן הסכום מתקרב ל-1 ולא עובר אותו.
1 הוא הסכום של הסדרה האינסופית: הסכומים החלקיים שואפים ל-1.

\displaystyle q^n

שואף ל-0

כש- $\displaystyle -1<q<1$ , החזקות $\displaystyle q^n$ שואפות ל-0. במדויק: לכל מספר חיובי שנבחר, קטן ככל שנרצה, יש מקום שממנו והלאה כל החזקות קטנות ממנו בערכן המוחלט.

$\displaystyle {q}={\frac{1}{2}}$ והמספר $\displaystyle 0.001$ : $\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}={\frac{1}{1024}<0.001}$ , וכל חזקה אחריה קטנה עוד יותר.
לכל מספר קטן יותר, למשל $\displaystyle 0.000001$ , יש מקום רחוק יותר: $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{20}<0.000001$ .
כש- $\displaystyle q\geq1$ או $\displaystyle q\leq-1$ , $\displaystyle |q^n|$ לא קטן, ולכן אינו שואף ל-0.

הסכום המתכנס

נכתוב $\displaystyle {S_n}={\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}}$ . כש- $\displaystyle -1<q<1$ , $\displaystyle q^n$ שואף ל-0, ולכן $\displaystyle S_n$ שואף ל- $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ :

\displaystyle S

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a_1}{1-q}

\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0

אומרים שהסכום מתכנס.
בדוגמה: $\displaystyle {S}={\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}}={1}$ .
כש- $\displaystyle q\geq1$ או $\displaystyle q\leq-1$ לסדרה אין סכום.

שבר עשרוני מחזורי

שבר עשרוני מחזורי הוא סכום של סדרה הנדסית אינסופית:

$\displaystyle {0.333\ldots}={\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\ldots}={\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}}={\frac{1}{3}}$ .
$\displaystyle {0.1212\ldots}={\frac{12}{100}+\frac{12}{10000}+\ldots}={\frac{\frac{12}{100}}{1-\frac{1}{100}}}={\frac{12}{99}}={\frac{4}{33}}$ .
$\displaystyle {0.1666\ldots}={\frac{1}{10}+\left(\frac{6}{100}+\frac{6}{1000}+\ldots\right)}={\frac{1}{10}+\frac{\frac{6}{100}}{1-\frac{1}{10}}}={\frac{1}{10}+\frac{1}{15}}={\frac{1}{6}}$ .

לאילו ערכים יש סכום

הסדרה $\displaystyle 1, (x-1), (x-1)^2, \ldots$ היא סדרה הנדסית עם $\displaystyle {q}={x-1}$ .

יש לה סכום כש- $\displaystyle -1<x-1<1$ , כלומר $\displaystyle 0<x<2$ (וגם $\displaystyle x\neq1$ , כדי ש- $\displaystyle q\neq0$ ).
הסכום: $\displaystyle {S}={\frac{1}{1-(x-1)}}={\frac{1}{2-x}}$ . למשל כש- $\displaystyle {x}={1.5}$ : $\displaystyle {S}={2}$ .

ריבועים בתוך ריבועים

שטח הריבוע הגדול 16. מחברים את אמצעי הצלעות, ומקבלים ריבוע ששטחו חצי – 8; ושוב, וכן הלאה בלי סוף.

השטחים $\displaystyle 16, 8, 4, \ldots$ הם סדרה הנדסית עם $\displaystyle {q}={\frac{1}{2}}$ .
סכום כל השטחים: $\displaystyle {\frac{16}{1-\frac{1}{2}}}={32}$ .

תרגיל 1

חשבו את הסכום של הסדרה ההנדסית האינסופית $\displaystyle 27, 9, 3, \ldots$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

כתבו את $\displaystyle 0.4545\ldots$ כשבר פשוט: חשבו את הסכום $\displaystyle \frac{45}{100}+\frac{45}{10000}+\ldots$

תרגיל 3

לאילו ערכים של $\displaystyle x$ יש לסדרה $\displaystyle 1, 2x, 4x^2, \ldots$ סכום? (חוץ מ- $\displaystyle {x}={0}$ .)

תרגיל 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 12, והאיבר הראשון שלה 8.
מצאו את $\displaystyle q$ .

תרגיל 5

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 9, וסכום הריבועים של איבריה 40.5.
מצאו את $\displaystyle a_1$ ואת $\displaystyle q$ . (רמז: גם הריבועים הם סדרה הנדסית.)

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$