תרגול: הסדרה החשבונית

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 9 מתוך 23תרגול

תרגול: הסדרה החשבונית

הסדרה החשבונית: $\displaystyle 120, 113, 106, \ldots$

באיזה מקום נמצא האיבר השלילי הראשון?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מהו סכום כל האיברים החיוביים?

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_3+a_8}={41}$ ו- $\displaystyle {a_{10}}={34}$ .
מצאו את $\displaystyle a_1$ ואת $\displaystyle d$ .

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_4}={10}$ , ו- $\displaystyle {a_1\cdot a_7}={64}$ .
מצאו את $\displaystyle d$ (שני פתרונות), ואת $\displaystyle a_1$ לכל אחד מהם.

סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים של סדרה: $\displaystyle {S_n}={5n-n^2}$ .
מצאו את $\displaystyle a_n$ , והוכיחו שהסדרה חשבונית.

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_1}={2}$ ו- $\displaystyle {d}={3}$ .
כמה איברים צריך לחבר כדי שהסכום יהיה 610?

$\displaystyle a_n$ סדרה חשבונית עם הפרש $\displaystyle d$ , ו- $\displaystyle {b_n}={a_n+a_{n+1}}$ .
הוכיחו ש- $\displaystyle b_n$ סדרה חשבונית, ומצאו את ההפרש שלה.

בסדרה חשבונית של 21 איברים $\displaystyle {a_1}={4}$ ו- $\displaystyle {d}={3}$ .
חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים.

רץ מתאמן לקראת מרוץ: ביום הראשון הוא רץ 3 ק"מ, ובכל יום 0.5 ק"מ יותר מביום שלפניו.
ביום האחרון הוא רץ 15 ק"מ.

כמה ימים הוא התאמן?

כמה קילומטרים רץ בסך הכול?

המספרים $\displaystyle x^2$ , $\displaystyle 5x$ , $\displaystyle x+18$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית.
מצאו את $\displaystyle x$ (שני פתרונות), ולכל פתרון את שלושת האיברים.

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$