דלג לתוכן

תרגול: אינדוקציה מתמטית

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 22 מתוך 23תרגול

תרגול: אינדוקציה מתמטית

1

1+4+7+…+(3n−2)=n(3n−1)2\displaystyle {1+4+7+\ldots+(3n-2)}={\frac{n(3n-1)}{2}}
הוכיחו באינדוקציה שהטענה נכונה לכל n\displaystyle n טבעי.

שלב הבסיס

בדקו את הטענה עבור n=1\displaystyle {n}={1}.

שלב הצעד

כתבו את הנחת האינדוקציה – הטענה עבור k\displaystyle k טבעי כלשהו – ואת מה שצריך להוכיח עבור k+1\displaystyle k+1.

החישוב: התחילו מהביטוי שקיבלתם אחרי שהצבתם את ההנחה, והגיעו למה שצריך להוכיח.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    שלב ההסקה
    2

    1⋅2⋅3+2⋅3⋅4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4\displaystyle {1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\ldots+n(n+1)(n+2)}={\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}}
    הוכיחו באינדוקציה שהטענה נכונה לכל n\displaystyle n טבעי.

    שלב הבסיס

    בדקו את הטענה עבור n=1\displaystyle {n}={1}.

    שלב הצעד

    כתבו את הנחת האינדוקציה – הטענה עבור k\displaystyle k טבעי כלשהו – ואת מה שצריך להוכיח עבור k+1\displaystyle k+1.

    החישוב: התחילו מהביטוי שקיבלתם אחרי שהצבתם את ההנחה, והגיעו למה שצריך להוכיח.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      שלב ההסקה
      3

      11⋅3+13⋅5+…+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\displaystyle {\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac{n}{2n+1}}
      הוכיחו באינדוקציה שהטענה נכונה לכל n\displaystyle n טבעי.

      שלב הבסיס

      בדקו את הטענה עבור n=1\displaystyle {n}={1}.

      שלב הצעד

      כתבו את הנחת האינדוקציה – הטענה עבור k\displaystyle k טבעי כלשהו – ואת מה שצריך להוכיח עבור k+1\displaystyle k+1.

      החישוב: התחילו מהביטוי שקיבלתם אחרי שהצבתם את ההנחה, והגיעו למה שצריך להוכיח.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        שלב ההסקה
        4

        סדרה מוגדרת בכלל הנסיגה a1=1\displaystyle {a_1}={1}, an+1=an+2n\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+2^n}.
        הוכיחו באינדוקציה ש-an=2n−1\displaystyle {a_n}={2^n-1} לכל n\displaystyle n טבעי.

        שלב הבסיס
        שלב הצעד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          שלב ההסקה
          5

          הוכיחו באינדוקציה ש-6n+4\displaystyle 6^n+4 מתחלק ב-5 לכל n\displaystyle n טבעי.

          שלב הצעד

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            6

            הוכיחו באינדוקציה ש-n3−n\displaystyle n^3-n מתחלק ב-3 לכל n\displaystyle n טבעי.

            שלב הצעד

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              7

              ענבל כתבה: “הטענה: 2+4+…+2n=n2+n+5\displaystyle {2+4+\ldots+2n}={n^2+n+5}. עבור k+1\displaystyle k+1: 2+4+…+2k+2(k+1)=k2+k+5+2k+2=(k+1)2+(k+1)+5\displaystyle {2+4+\ldots+2k+2(k+1)}={k^2+k+5+2k+2}={(k+1)^2+(k+1)+5}. הוכחנו.”
              מה חסר בהוכחה? האם הטענה נכונה?