כלל נסיגה

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 2 מתוך 23לימוד

כלל נסיגה

כלל נסיגה מגדיר סדרה בשני חלקים:

תנאי התחלה – האיבר הראשון, למשל $\displaystyle {a_1}={3}$ ;
הכלל – איך מחשבים כל איבר מהאיבר שלפניו, למשל $\displaystyle {a_{n+1}}={2a_n-1}$ .

מהכלל מקבלים את האיברים בזה אחר זה:

$\displaystyle {a_2}={2\cdot3-1}={5}$ ;
$\displaystyle {a_3}={2\cdot5-1}={9}$ ;
$\displaystyle {a_4}={2\cdot9-1}={17}$ .

כך מחשב גם מחשב סדרה שמוגדרת בכלל נסיגה: צעד אחר צעד, כל צעד מהתוצאה של הצעד הקודם.

מנוסחה לפי מקום לכלל נסיגה

כשיש נוסחה לפי מקום, כותבים את $\displaystyle a_{n+1}$ ומחפשים בו את $\displaystyle a_n$ . בסדרה $\displaystyle {a_n}={n^2}$ :

a_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1=a_n+2n+1

הכלל: $\displaystyle {a_1}={1}$ , $\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+2n+1}$ .
לכלל יש משמעות: כל ריבוע גדול מהריבוע שלפניו במספר האי־זוגי $\displaystyle 2n+1$ .

ניחוש נוסחה מהאיברים

הדרך ההפוכה, מכלל נסיגה לנוסחה לפי מקום, קשה בדרך כלל, ולפעמים אין נוסחה פשוטה כלל. לפעמים אפשר לנחש אותה מהאיברים.

בסדרה $\displaystyle {a_1}={3}$ , $\displaystyle {a_{n+1}}={2a_n-1}$ האיברים $\displaystyle 3, 5, 9, 17, 33, \ldots$

כל איבר גדול ב-1 מחזקה של 2: $\displaystyle {3}={2+1}$ , $\displaystyle {5}={4+1}$ , $\displaystyle {9}={8+1}$ .
הניחוש: $\displaystyle {a_n}={2^n+1}$ .
ניחוש שמתאים לחמשת האיברים הראשונים אינו הוכחה שהוא מתאים לכולם. ההוכחה תבוא עם האינדוקציה המתמטית, בהמשך הקורס.

סדרה מחזורית

בסדרה $\displaystyle {a_1}={2}$ , $\displaystyle {a_{n+1}}={\frac{1}{1-a_n}}$ :

$\displaystyle {a_2}={\frac{1}{1-2}}={-1}$ ;
$\displaystyle {a_3}={\frac{1}{1-(-1)}}={\frac{1}{2}}$ ;
$\displaystyle {a_4}={\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}={2}={a_1}$ .

$\displaystyle a_4$ חזר להיות $\displaystyle a_1$ , ולכן מכאן הכלל נותן שוב את אותם האיברים: $\displaystyle 2, -1, \frac{1}{2}, 2, -1, \frac{1}{2}, \ldots$ זו סדרה מחזורית, והמחזור שלה 3.

$\displaystyle a_{100}$ : $\displaystyle {100}={3\cdot33+1}$ , כלומר אחרי 33 מחזורים שלמים מגיעים למקום הראשון במחזור: $\displaystyle {a_{100}}={a_1}={2}$ .
סכום 99 האיברים הראשונים: 33 מחזורים, וסכום כל מחזור $\displaystyle {2-1+\frac{1}{2}}={1.5}$ , ולכן $\displaystyle {33\cdot1.5}={49.5}$ .

כלל לפי שני איברים

כלל נסיגה יכול להשתמש בשני האיברים שלפני האיבר. אז צריך שני תנאי התחלה.

סדרת פיבונאצ’י: $\displaystyle {a_1}={1}$ , $\displaystyle {a_2}={1}$ , $\displaystyle {a_{n+2}}={a_{n+1}+a_n}$ .
כל איבר הוא סכום שני האיברים שלפניו: $\displaystyle 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$

תרגיל 1

סדרה מוגדרת בכלל הנסיגה $\displaystyle {a_1}={5}$ , $\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+2n}$ .
חשבו את $\displaystyle a_4$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={3n-1}$ .

פשטו את $\displaystyle a_{n+1}-a_n$ .

כתבו כלל נסיגה לסדרה.

תרגיל 3

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={n^2+n}$ .
כתבו את $\displaystyle a_{n+1}$ כ- $\displaystyle a_n$ ועוד ביטוי ב- $\displaystyle n$ , וכתבו כלל נסיגה לסדרה.

תרגיל 4

סדרה מוגדרת בכלל הנסיגה $\displaystyle {a_1}={3}$ , $\displaystyle {a_{n+1}}={\frac{a_n+1}{a_n-1}}$ .

חשבו את $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle a_3$ ו- $\displaystyle a_4$ . מה אפשר לומר על הסדרה?

מהו $\displaystyle a_{51}$ ?

חשבו את סכום 20 האיברים הראשונים.

תרגיל 5

בציור הריבועים מהשיעור הקודם, $\displaystyle {a_n}={4n}$ משבצות צבועות בשלב $\displaystyle n$ .
כתבו כלל נסיגה ל- $\displaystyle a_n$ , והסבירו אותו בעזרת הציור.

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$