דלג לתוכן

חזרה: סדרות ואינדוקציה

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 23 מתוך 23תרגול

חזרה: סדרות ואינדוקציה

1

סדרה מוגדרת בכלל הנסיגה a1=4\displaystyle {a_1}={4}, an+1=2an\displaystyle {a_{n+1}}={\frac{2}{a_n}}.
כתבו את ארבעת האיברים הראשונים, ומצאו את סכום 41 האיברים הראשונים.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    2

    בסדרה חשבונית a6=17\displaystyle {a_6}={17}, וסכום 10 האיברים הראשונים הוא 155.
    מצאו את a1\displaystyle a_1 ואת d\displaystyle d.

      3

      סכום n\displaystyle n האיברים הראשונים של סדרה: Sn=n2+4n\displaystyle {S_n}={n^2+4n}.
      מצאו את an\displaystyle a_n, והוכיחו שהסדרה חשבונית.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        4

        המספרים a\displaystyle a, b\displaystyle b, 12\displaystyle 12 (בסדר הזה) הם סדרה חשבונית, והמספרים a\displaystyle a, b\displaystyle b, 16\displaystyle 16 – סדרה הנדסית. a\displaystyle a ו-b\displaystyle b חיוביים.
        מצאו את a\displaystyle a ואת b\displaystyle b.

          5

          בסדרה הנדסית a3=20\displaystyle {a_3}={20} ו-a6=160\displaystyle {a_6}={160}.
          מצאו את q\displaystyle q, וחשבו את סכום 8 האיברים הראשונים.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            6

            בסדרה הנדסית אינסופית סכום שני האיברים הראשונים הוא 15, וסכום הסדרה 16.
            מצאו את q\displaystyle q ואת a1\displaystyle a_1 (שני פתרונות).

              7

              an\displaystyle a_n סדרה הנדסית עם מנה q\displaystyle q, ו-bn=a2n−1+a2n\displaystyle {b_n}={a_{2n-1}+a_{2n}}.
              הוכיחו ש-bn\displaystyle b_n סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                8

                אוכלוסייה של 2,000 צבאים גדלה ב-10% בכל שנה.
                באיזו שנה תעבור האוכלוסייה 4,000 צבאים לראשונה? מצאו בניסוי וטעייה.

                9

                1+2⋅2+3⋅22+…+n⋅2n−1=(n−1)2n+1\displaystyle {1+2\cdot2+3\cdot2^2+\ldots+n\cdot2^{n-1}}={(n-1)2^n+1}
                הוכיחו באינדוקציה שהטענה נכונה לכל n\displaystyle n טבעי.

                שלב הבסיס

                בדקו את הטענה עבור n=1\displaystyle {n}={1}.

                שלב הצעד

                כתבו את הנחת האינדוקציה – הטענה עבור k\displaystyle k טבעי כלשהו – ואת מה שצריך להוכיח עבור k+1\displaystyle k+1.

                החישוב: התחילו מהביטוי שקיבלתם אחרי שהצבתם את ההנחה, והגיעו למה שצריך להוכיח.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  שלב ההסקה
                  10

                  הוכיחו באינדוקציה ש-9n−1\displaystyle 9^n-1 מתחלק ב-8 לכל n\displaystyle n טבעי.

                  שלב הצעד

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה