סדרה ונוסחה לפי מקום

סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 1 מתוך 23לימוד

סדרה ונוסחה לפי מקום

סדרה ואיבריה

סדרה היא רשימה של מספרים בסדר מסוים: יש לה איבר ראשון, איבר שני, איבר שלישי וכן הלאה.

כל מספר ברשימה הוא איבר של הסדרה.
המקום של איבר הוא מספר טבעי: $\displaystyle 1, 2, 3, \ldots$
$\displaystyle a_n$ הוא האיבר שבמקום $\displaystyle n$ : בסדרת המספרים האי־זוגיים $\displaystyle 1, 3, 5, 7, \ldots$ האיבר הראשון $\displaystyle {a_1}={1}$ , והאיבר הרביעי $\displaystyle {a_4}={7}$ .
האיברים עצמם לא חייבים להיות טבעיים: בסדרה $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$ כל האיברים שברים.

נוסחה לפי מקום

נוסחה לפי מקום נותנת את האיבר מהמקום שלו. בסדרת המספרים האי־זוגיים $\displaystyle {a_n}={2n-1}$ :

$\displaystyle n$	1	2	3	4	5
$\displaystyle a_n$	1	3	5	7	9

סדרה היא פונקציה: לכל מספר טבעי $\displaystyle n$ מתאים ערך אחד בדיוק, $\displaystyle a_n$ . לכן כותבים לפעמים $\displaystyle a(n)$ במקום $\displaystyle a_n$ .
ההבדל מהפונקציות שהכרתם: המשתנה $\displaystyle n$ מקבל רק ערכים טבעיים.
לכן הגרף של סדרה הוא נקודות נפרדות $\displaystyle (n, a_n)$ , ולא קו:

\displaystyle (1,1)

\displaystyle (2,3)

\displaystyle (3,5)

\displaystyle (4,7)

\displaystyle (5,9)

\displaystyle (6,11)

נוסחה מציור

בשלב $\displaystyle n$ יש ריבוע שצלעו $\displaystyle n+1$ משבצות, ומשבצות השוליים שלו צבועות. $\displaystyle a_n$ הוא מספר המשבצות הצבועות: $\displaystyle 4, 8, 12, 16, \ldots$

אפשר למצוא את הנוסחה בשתי דרכים:

ארבע צלעות של $\displaystyle n+1$ משבצות, וכל משבצת פינה נספרה פעמיים: $\displaystyle {a_n}={4(n+1)-4}={4n}$ .
השוליים מתחלקים לארבעה פסים של $\displaystyle n$ משבצות (כל פס מתחיל בפינה אחרת): $\displaystyle {a_n}={4n}$ .

שתי הדרכים נותנות את אותה הנוסחה, והטבלה מאשרת אותה: $\displaystyle {a_3}={12}$ .

סדרה עולה וסדרה יורדת

סדרה עולה אם כל איבר גדול מהאיבר שלפניו: $\displaystyle a_{n+1}>a_n$ לכל $\displaystyle n$ .
סדרה יורדת אם כל איבר קטן מהאיבר שלפניו: $\displaystyle a_{n+1}<a_n$ לכל $\displaystyle n$ .
כדי להחליט, מחשבים את ההפרש $\displaystyle a_{n+1}-a_n$ ובודקים את הסימן שלו.

דוגמה: $\displaystyle {a_n}={n^2-4n}$ , כלומר $\displaystyle -3, -4, -3, 0, 5, \ldots$

a_{n+1}-a_n=\left((n+1)^2-4(n+1)\right)-(n^2-4n)=2n-3

עבור $\displaystyle {n}={1}$ ההפרש שלילי: $\displaystyle a_2<a_1$ .
עבור $\displaystyle n\geq2$ ההפרש חיובי: מהאיבר השני הסדרה עולה.
הסדרה כולה אינה עולה ואינה יורדת.

סימנים מתחלפים

בסדרה $\displaystyle {a_n}={(-1)^n\cdot n}$ האיברים $\displaystyle -1, 2, -3, 4, -5, \ldots$

$\displaystyle (-1)^n$ שווה ל- $\displaystyle 1$ כש- $\displaystyle n$ זוגי, ול- $\displaystyle -1$ כש- $\displaystyle n$ אי־זוגי.
לכן האיברים חיוביים ושליליים לסירוגין: זו סדרה עם סימנים מתחלפים.
סדרה כזאת אינה עולה ואינה יורדת.

המקום של איבר

באיזה מקום בסדרה $\displaystyle {a_n}={n^2-4n}$ נמצא האיבר 45? נפתור משוואה ב- $\displaystyle n$ :

n^2-4n=45

$\displaystyle {n^2-4n-45}={0}$ , כלומר $\displaystyle {(n-9)(n+5)}={0}$ , ולכן $\displaystyle {n}={9}$ או $\displaystyle {n}={-5}$ .
$\displaystyle {n}={-5}$ אינו מקום של איבר: המקום הוא מספר טבעי.
45 הוא האיבר התשיעי: $\displaystyle {a_9}={81-36}={45}$ .

מספר שהמשוואה נותנת לו רק פתרונות שאינם טבעיים אינו איבר של הסדרה.

תרגיל 1

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={3n+2}$ .

חשבו את $\displaystyle a_{10}$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

האם 100 הוא איבר של הסדרה? פתרו משוואה, והסבירו.

תרגיל 2

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={\frac{n}{n+1}}$ .

כתבו את ארבעת האיברים הראשונים.

פשטו את $\displaystyle a_{n+1}-a_n$ , והחליטו אם הסדרה עולה או יורדת.

תרגיל 3

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={n^2-6n+5}$ .
אילו איברים של הסדרה שליליים? פתרו אי־שוויון, וכתבו את המקומות.

תרגיל 4

בציור הריבועים שלמעלה, $\displaystyle b_n$ הוא מספר המשבצות הלא צבועות בשלב $\displaystyle n$ .

כתבו נוסחה לפי מקום ל- $\displaystyle b_n$ , ונמקו.

באיזה שלב יש 400 משבצות לא צבועות?

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$